Hry s po částech afinními užitkovými funkcemi

Abstract

Cílem této bakalářské práce je experimentálně ověřit, zda nekonečná hra o dvou hráčích s nulovým součtem [9, p.89] a s výplatními funkcemi, které jsou reprezentovány ve formě po částech afinních funkcí, má konečnou rovnováhu. Po částech afinní funkce definujeme přes doménu rozdělenou na sadu spojitých afinních funkcí. Tato doména je v experimentu ohraničená čtvercem [0,1] × [0,1] z toho důvodu, že hry s nulovým součtem využívají interval [0,1] pro reprezentaci možných strategií. K tomu, abychom ověřili předpoklad ohledně konečnosti rovnováhy, byl navržen algoritmus, ze kterého vychází nově vytvořený program. Pro tvorbu programu byl zvolen programovací jazyk Python. Experimentální funkce algoritmu je založena na generovaní náhodných triangulací společně s jejich vznikajícími po částech afinními funkcemi. Dalším krokem algoritmu je aproximace těchto funkcí nad konečnou mřížku a určení rovnováhy dané konečné hry. K vytváření větších her s nulovým součtem byl v experimentech použit iterační postup, aby bylo možné v jednotlivých krocích vizuálně posoudit konvergenci chování dílčích výstupů programu. Abychom plně rozuměli funkčnosti programu, musíme ovládat základy teorie strategických her s nulovým součtem. Další problematikou, kterou bylo nutné detailně analyzovat pro tvorbu programu, byl algoritmus pro počítání rovnováhy (založený na principu lineárního programování). Poslední z oblastí, kterou se bylo nutné v průběhu bakalářské práce zabývat, byly problémy vznikající z nekonečného strategického prostoru naší hry.

This bachelor thesis aims to experimentally verify whether infinite two-player zero-sum games [9, p.89] with payoff functions in the form of piecewise affine functions have finite equilibria. We define piecewise affine functions over a domain split by a set of continuous affine functions. This domain for the experiment is limitary to a square [0,1] × [0,1], this is due to zero-sum games using the interval of [0,1] to represent possible strategies. To verify equilibrium finiteness assumptions, we built an algorithm creating a new program. Python programming language was chosen for the program creation. The algorithm’s experimental function is based on random triangulations with piecewise affine functions arising from them. The algorithm’s next step is to approximate such functions over a finite grid and determine the respective finite game’s equilibrium. An iterative approach was used in experiments to create larger zero-sum games to assess such solutions’ convergence in single steps visually. An iterative approach was used to generate larger zero-sum games in the experiments so that it was possible to visually assess the convergence of the behavior of the program’s partial outputs in individual steps. To fully understand the program’s functioning, we need to master zero-sum strategic games’ basics theory. Next problematics, which was necessary to analyze in detail for program creation, was an algorithm for equilibria computing (based on linear programming). The last area addressed during this bachelor thesis was the problems arising from our games’ infinite strategy space.