V čase proměnlivá stabilní párování

Abstract

V dynamicky se měnícím světě nemůžeme očekávat, že naše preference zůstanou neměnné pod vlivem vnějších faktorů. Proto potřebujeme, aby se řešení našich problémů dobře adaptovaly těmto změnám. V problému \textsc{Stable Marriage} se skupiny mužů a žen párují podle jejich \textit{preferencí}. Cílem je najít takové párování, kde neexistuje muž a žena, kteří se vzájemně preferují před svými aktuálními partnery. Efekt dynamicky se měnících preferencí těchto žen a mužů studujeme v rámci naší definice problému jako \textsc{Temporal Stable Marriage}, který tyto změny řeší. Řešením tohoto problému je nalézt párování, ve kterém se nejvýše \textit{k} párů preferuje vzájemně před jejich přiřazenými partnery pod více preferenčními profily. Dokazujeme, že tento problém je \textit{NP-úplný}, i s konstantní hodnotou \textit{k}, a navrhujeme algoritmy, které jsou potencionálně už jen pár pozorování vzdálené od schopnosti vracet správné řešení v čase lepším, než naivní algoritmus hrubou silou.

In dynamically changing world, we cannot expect our preferences to be constantly unchanged under outside factors. Hence, we need solutions of our problems to adapt well to changes. In \textsc{Stable Marriage} problem, sets of men and women are being matched according to their \textit{preferences}. The goal is to find a matching, where no man and woman both prefer each other over their current partners. We study the effect of dynamicaly changing preferences of these men and women and define \textsc{Temporal Stable Marriage} problem that adresses these changes. This problem tries to find a matching, where at most \textit{k} pairs prefer each other over their current partners under multiple preference profiles. We prove that this problem is \textit{NP-complete}, even with constant value of \textit{k}, and propose algorithms that might be a few observations away from being able to find a valid solution in time better than naive brute force method.