Kritický exponent balancovaných slov

Abstract

Práce spadá pod tematiku kombinatoriky na slovech. Balancovaná slova jsou skupinou slov, která dokážeme generovat pomocí dobře prozkoumaných slov sturmovských a zachovávají si mnoho podobných charakteristik. Kritický exponent udává horní hranici toho, kolikrát se faktory v daném slově opakují bezprostředně po sobě. Přirozeně se nabízí otázka, zda se dá nad danou abecedou určitému množství opakování vyhnout? Obecná dolní mez je dobře známa, pro balancovaná slova však byla vyslovena pouze domněnka na základě systematického procházení prefixů slov nad d-písmennými abecedami pro d < 8. Tato práce obsahuje ucelený popis vlastností sturmovských a balancovaných slov, algoritmus pro výpočet (asymptotického) kritického exponentu balancovaných slov, který je nezávislý na velikosti abecedy, a jeho následnou implementaci. Pomocí programu se nám dále povedlo původní domněnku vyvrátit, najít menší dolní mez pro d > 11 a pro sudé abecedy dokázat, že je nabývána.

This topic is actual in combinatorics on words. Balanced sequences can be generated using well-known Sturmian sequences, and they retain many similar characteristics. The Critical exponent is the upper limit of successive repetitions of factors in a given sequence. The obvious question is whether it is possible to avoid a certain number of repetitions in a sequence over a given alphabet? The general lower bound is well known, but only a conjecture was known for balanced sequences. The conjecture was based on a systematic search in prefixes of sequences over d-letter alphabets for d < 8. This thesis contains a comprehensive description of the properties of Sturmian and balanced sequences, an algorithm for computing the (asymptotic) critical exponent of balanced sequences, which is independent of the size of the alphabet, and its subsequent implementation. We managed to refute the original conjecture. We found a smaller lower bound for d > 11 and showed that it is attained for even-sized alphabets.