Kritický a asymptotický kritický exponent

Abstract

Jednou z hlavních otázek kombinatoriky na slovech jsou repetice ve slovech, které popisuje kritický a asymptotický kritický exponent. Kritický exponent (CE) říká, jaký je maximální počet opakování slova hned po sobě v daném nekonečném slově. Asymptotický kritický exponent (ACE) pak uvažuje pouze opakování faktorů, jejichž délka jde limitně do nekonečna. Práce je dělena do dvou samostatných celků. V první části se zabýváme otázkou minimálního ACE balancovaných slov nad d-písmennou abecedou. Napřed proto definujeme základní pojmy a popíšeme bispeciály a návratová slova v balancovaných slovech a jak je lze využít pro hledání minimálního ACE. Dále teorii rozšíříme, abychom dokázali pro danou mez najít balancované slovo s danými parametry, které nabývá ACE nižší, než je daná mez (pokud existuje). S využitím teorie navrhneme a implementujeme algoritmus, který nám umožní najít hodnotu minimálního ACE pro balancovaná slova nad d-písmennou abecedou pro všechna d v množině {3,4,..., 10}. Druhá část této práce se zabývá nekonečnými slovy nad binární abecedou, která mají malý kritický exponent a zároveň obsahují pouze konečně mnoho palindromů, resp. komplementárních faktorů. Hlavní přínos této části je popis procesu hledání kritického exponentu pro morfické obrazy nekonečného slova, které je pevným bodem zadaného morfismu. Tato práce navazuje na výzkum v mé bakalářské práci a výzkumném projektu. Dále jsou výsledky této práce součástí tří článků, z toho jeden je již publikovaný a dva odeslané.

One of the main questions in combinatorics on words concerns repetitions in sequences, this notion is described by (asymptotic) critical exponent. The critical exponent (CE) of a sequence tells us what the maximum number of consecutive repetitions of any non-empty word in the sequence is. The asymptotic critical exponent (ACE) then considers repetitions of words of length that tends to infinity. The thesis consists of two independent parts. In the first part, we examine the minimal ACE of balanced sequences over a d-letter alphabet. To do so, we recall the notions of bispecial factors and return words in balanced sequences and how to use them to calculate the ACE of a balanced sequence. Next, we expand this theory to allow us to find a balanced sequence with given parameters that attains ACE lower than a given bound (if such a sequence exists). Using the theory, we create and implement an algorithm and then use it to find the minimal ACE of balanced sequences over a d-letter alphabet for all d in the set {3,4,..., 10}. The second part of the thesis deals with binary sequences having small CE while containing either a limited number of palindromes or a limited number of complemented factors. The main contribution of this part is the method of computation of CE of morphic images of the fixed point of a given morphism. This thesis follows up on research conducted in my bachelor thesis and research project. The results are also part of one published and two submitted papers.