Integrabilní a superintegrabilní systémy cylindrického typu v magnetických polích

Abstract

Cílem této práce je hledání integrabilních a superintegrabilních systémů cylindrického typu s magnetickým polem. Po zformulování kvantově mechanických určujících rovnic pro integrály pohybu druhého řádu v cylindrických souřadnicích jsou nalezeny všechny kvadraticky integrabilní systémy cylindrického typu. Mezi nimi jsou hledány systémy, které připouštějí dodatečné integrály pohybu. Nejprve jsou přímým řešením určujících rovnic nalezeny všechny systémy s dodatečným integrálem prvního řádu v klasické i kvantové mechanice. Ukazuje se, že všechny tyto systémy již byly známé a žádné další neexistují. Nalezeny jsou také všechny klasické systémy s dodatečným integrálem typu $L^2+$…, respektive $L_x p_y-L_y p_x+$..., z nichž většina zatím nebyla publikována. Všechny nalezené superintegrabilní systémy připouštějí integrál prvního řádu $L_z$ a jejich Hamiltonovy-Jacobiho, respektive Schrödingerovy, rovnice jsou vyřešeny separací proměnných v cylindrických souřadnicích, u systémů prvního řádu i v kartézských.

The goal of this thesis is the search for integrable and superintegrable systems with magnetic field. We formulate the quantum mechanical determining equations for second order integrals of motion in the cylindrical coordinates and we find all quadratically integrable systems of the cylindrical type. Among them we search for systems admitting additional integrals of motion. We find all systems with an additional first order integral both in classical and quantum mechanics. It turns out that all these systems have already been known and no other exist. We also find all systems with an additional integral of type $L^2+$…, respectively $L_x p_y-L_y p_x+$..., of which the majority is new to the literature. All found superintegrable systems admit the first order integral $L_z$ and we solve their Hamilton-Jacobi and Schrödinger equations by separation of variables in the cylindrical coordinates, for the first order systems in the Cartesian coordinates as well.