Struktura Cliffordových grup v konečně-rozměrné kvantové mechanice

Abstract

V této práci nejdříve ukážeme, jak lze definovat operátory hybnosti a polohy na N-rozměrném Hilbertově prostoru a potom definujeme Weylovu-Heisenbergovu grupu. Cliffordovu grupu definujeme jako normalizátor Weylovy-Heisenbergovy grupy v grupě unitárních operátorů a nalezneme tak zvanou projektivní Weilovu reprezentaci, tedy homomorfismus grupy SL(2, ℤN) do projektivní Cliffordovy grupy pro liché N. Dokážeme, že projektivní Cliffordova grupa má pro liché N strukturu semidirektního součinu a nakonec ukážeme, že projektivní Weilovu reprezentaci lze pro liché N upravit tak, že půjde o klasickou reprezentaci a tudíž, že i samotná Cliffordova grupa má strukturu semidirektního součinu.

In this thesis we first show how to define the position and momentum operators on an N-dimensional Hilbert space and we then define the Weyl-Heisenberg group. We define the Clifford group as the normalizer of the Weyl-Heisenberg group in the group of unitary operators and for odd N we find the so-called projective Weil representation, that is, a homomorphism of the group SL(2, ℤN) to the projective Clifford group. Then we prove that the projective Clifford group has the structure of a semidirect product for odd N and, finally, we show that for odd N the projective Weil representation can be modified in such a way that it becomes a usual representation and therefore the Clifford group itself has the structure of a semidirect product.