Periody řetězových zlomků prvků kvadratického tělesa

Abstract

V této práci se věnujeme zkoumání odhadů prodloužení periody řetězových zlomků prvků kvadratického tělesa při Möbiově transformaci. To jest, určujeme ze znalosti periody řetězového zlomku čísla alfa horní odhad na délku periody řetězového zlomku čísla (a*alfa+b)/(c*alfa+d) , kde a,b,c,d jsou celá čísla. Tyto odhady jsou konstruovány pomocí převodníků Möbivy transformace v závislosti na determinantu ad??bc. Ukazujeme explicitní vzorec pro horní hranici prodloužení periody řetězového zlomku při Möbiově transformaci, který se alespoň pro malé prvočíselné determinanty jeví z experimentů jako velmi přesný.

In this thesis we study the relation of the periods of the continued fraction of a given quadratic number and of the continued fraction of the given number after a Möbius transformation. Knowing the period of the continued fraction of a number alpha, we construct an upper bound on the period of the continued fraction of the number (a*alpha+b)/(c*alpha+d) where a,b,c,d are whole numbers. The upper bound depends on the determinant ad-cb. The proof of this upper bound is done using transducers representing Möbius transformations and we give an explicit formula to calculate it. We exhibit computational evidence that this upper bound is sharp for some small prime determinants.