Algebraické a stavové vlastnosti kvantových logik

Abstract

Tento text přispívá k teorii kvantových logik (algebraické teorii ortomodulárních uspořádaných množin). Kapitola 1 představuje základní pojmy kvantových teorií a jejich vztah s kvantovými logikami. Kapitola 2 formálně zavádí základní pojmy teorie kvantových logik. Kapitola 3 se zabývá algebraickým generováním ve svazových kvantových logikách. Jedním z výsledků je zjištění, že vlastnost lokální konečnosti umožňuje rozšiřování stavů. Poté je zkoumán kartézský součin lokálně konečných svazových kvantových logik. V kapitole 4 zkoumáme kvantové logiky dovolující zavedení pojmu symetrické diference. Hlavními dosaženými výsledky jsou nalezení příkladu neregulární kompatibility v těchto strukturách, důkaz rozšiřování ℤ2-stavů a konstrukce příkladu s malým stavovým prostorem a vysokým stupněm nekompatibility. V kapitole 5 opatříme Abbottovy algebry symetrickou diferencí (lze ji chápat jako operaci XOR). Ukazujeme, že Abbottovy algebry s operací XOR jsou kategoriálně ekvivalentní se svazovými kvantovými logikami se symetrickou diferencí. Dalším výsledkem je popis kompatibility a zavedení pojmu ∆-stav. Dále je podána zajímavá charakterizace Booleovy algebry v řeči symetrické diference. V kapitole 6 se ptáme, zda lze každou množinově reprezentovatelnou kvantovou logiku učinit isomorfní s množinově reprezentovatelnou kvantovou logikou, která dovoluje oddělování bodů. Na tuto otázku odpovídáme kladně pomocí zavedení vhodné ekvivalence a spojení s technikou Stoneovy reprezentace. V kapitole 7 shrhujeme hlavní výsledky práce.

This text contributes to the theory of quantum logics (the algebraic theory of the orthomodular posets). Chapter 1 introduces basic notions of quantum theories and their link with quantum logics. Chapter 2 rigorously recalls the basic notions of the up-to-date quantum logics. Chapter 3 studies the algebraic generation in the lattice QLs. As a main result, we see how the fact of being locally finite allows for an extension of states. Then a Cartesian product of locally finite lattice QLs is investigated in view of the permanence property. In Chapter 4 , we investigate the QLs that are endowed with a symmetric difference. Main results obtained are finding examples of an irregular compatibility, proving the extension of ℤ2-valued states and presenting a construction of an example with a small state space and a big degree of non-compatibility. In Chapter 5 , we endow the Abbott algebras with a symmetric difference (a kind of a XOR operation). We find that the Abbott XOR algebras are categorically equivalent to the class of lattice QLs with a symmetric difference. Another result is a description of compatibility. Also, Boolean algebras are characterized among the XOR Abbott algebras and an appropriate definition of a state is formulated and applied. Chapter 6 asks whether each set-representable quantum logic can be made point-distinguishing. We answer this question in the positive by considering an appropriate equivalence relation and, alternatively, by relating the problem to the Stone representation technique. In Chapter 7 we summarize the results and comment on the matters studied.