Problém Target Set Selection v řídkých a geometricky motivovaných sítích

Abstract

V této práci se zabýváme následujícím modelem šíření názoru v sociální síti. Na začátku někteří jedinci přijmou jistý názor (například tak, že jsou uplaceni). Poté se názor v síti šíří v diskrétním smyslu podle následujících pravidel. Jedinec, který ještě tento názor nemá, jej přijme, pokud dostatečné množství jeho přímých sousedů už názor má. Úkolem pak je ovlivnit malé množství jedinců tak, aby názor zaplavil celou síť. Tento model odpovídá notoricky těžkému problému Target Set Selection. V této práci řešíme tento problém v geometricky motivovaných grafových třídách, konkrétně ve třídě unit disk grafů. Ukazujeme, že i pro tuto třídu je problém Target Set Selection NP-těžký i když má vstupní graf maximální stupeň 4 a~hodnota prahové funkce je nanejvýš 2. Také ukazujeme NP-těžkost v případě, kdy je prahová funkce nastavena na majoritu. Po cestě ukazujeme podobné výsledky pro související třídy grafů jako jsou disk contact grafy nebo mřížkové grafy.

We study the following model of opinion spread in a social network. In the beginning, some individuals in the network adopt a concrete opinion (for example, they are bribed to adopt it). Next, in discrete rounds, the opinion spreads throughout the network in the following way. An individual that has not yet adopted the opinion, adopts it if a~sufficient number of its direct neighbors possess the opinion. The task is to initially influence a~small number of individuals such that the opinion floods the entire network. This model corresponds to a~notorious hard problem called Target Set Selection. In this work, we address geometric graphs, in particular, unit disk graphs. We show that even in this class Target Set Selection remains NP-hard, even if maximum degree of the underlying graph is 4 and thresholds are at most 2. We also show NP-hardness of Target Set Selection in the majority and unanimous threshold settings. En route, we show similar hardness results for related classes of graphs such as disk contact or grid graphs.