Vztah trojúhelníkových norem a jejich generátorů

Abstract

Možná už jste někdy slyšeli o paradoxu hromady. Víme, že milion zrnek písku je hromada písku. Také víme, že když z hromady odeberme jedno zrnko, pořád to je hromada. Když ale na tyto dva výroky dostatečněkrát použijeme matematickou indukci, zbude nám už jen jedno zrnko písku a z pohledu logiky bychom měli říct, že toto zrnko je také hromada. Na rozdíl od klasické logiky, ve které jsou pouze pravdivostní hodnoty 0 a 1, pravdivostní hodnoty fuzzy logiky jsou v intervalu [0,1], takže jich je nekonečně mnoho. Díky tomu mohou být výroky částečně pravdivé a paradox hromady je tím vyřešený. Nicméně se nabízí otázka: pokud jsou a i b částečně pravdivé, jak moc pravdivá bude jejich konjunkce? Proto potřebujeme fuzzy konjunkce, jinými slovy trojúhelníkové normy či t-normy. Na téma t-norem, které mohou být vytvořeny skrze generátory, už bylo napsáno hodně článků. Pořád však není jasně známo, jak malá změna generátoru ovlivní t-normu a naopak. Abychom to osvětlili, zabýváme se derivacemi generátorů i t-norem. Představujeme pojem vyvážený generátor, který, pokud je definovaný, je pro danou striktní t-normu jedinečný. Poté se snažíme rozšířit objev, který spojuje t-normu s jejím multiplikativním generátorem pro další t-normy. Následně zkoumáme vztah derivací fuzzy konjunkcí a jejich generátorů na okrajích definičního oboru. Navíc zajišťujeme vizuální ukázky tohoto vztahu a i některých jiných zajímavých t-norem. Nakonec se podíváme na vztah mezi diagonálou striktní t-normy a jejím multiplikativním generátorem.

You might have already heard of the sorites paradox. We know that a million grains of sand is a heap of sand. We also know that if we take away one grain from a heap, it is still a heap. However, if we apply mathematical induction to those two statements enough times, there will only remain one grain of sand and logically, we should say that this grain is also a heap. Unlike classical logic, where the only truth values are 0 and 1, fuzzy logic's truth values are in interval [0,1], which makes them infinitely many. This allows statements to be partially true and resolves the sorites paradox. However, it brings up a question: if both a and b are partially true, how much true will be their conjunction? That is why we need fuzzy conjunctions, in other words, triangular norms or t-norms. Many research papers were written on the topic of triangular norms, which can be constructed through generators. Nevertheless, it is still not clear how a little change in one affects the other. We study derivatives of both to clear this up. We introduce the notion of a balanced generator that, if defined, is unique to a given strict t-norm. Then, we try to widen a discovery that links a t-norm to its multiplicative generator to other t-norms. Afterward, we inspect the interplay of the derivatives of fuzzy conjunctions and their generators at the edges of the domain. Moreover, we provide some visual examples of this interplay and of some other interesting t-norms. In the end, we look at the interrelationship between the diagonal of a strict t-norm and its multiplicative generator.