Gradovaná Lieova teorie

Abstract

V této práci se zabýváme zobecněním některých základních definic a poznatků Lieovy teorie do prostředí Z-gradovaných variet. Uvedeme nezbytné základy teorie kategorií a teorie gradovaných variet, zavedeme ekvivalenty grup v obecných kategoriích a odvodíme o nich základní poznatky. Dále definujeme pojem gradovaná Lieova grupa a algebra, a představíme gradovanou grupu invertibilních matic. Detailně diskutujeme gradovaná levoinvariantní a fundamentální vektorová pole. Definujeme a zkoumáme gradované hlavní fibrované prostory a zkonstruujeme gradovanou hlavní fibraci repérů. Zabýváme se také vertikálními a horizontálními distribucemi v gradovaných hlavních fibrovaných prostorech a uvádíme definice forem konexe a křivosti.

In this work, we examine some key concepts of Lie theory in the setting of Z-graded manifolds. Necessary fundamental parts of category theory and graded manifold theory are reviewed; generalization of groups to abstract categories is discussed and some results are derived. Graded Lie groups and algebras are defined and we introduce the graded general linear group. Graded left-invariant and fundamental vector fields are examined in detail. Graded principal bundles are defined and studied and the graded frame bundle is constructed. Some treatment of vertical and horizontal distributions in graded principal bundles is presented, along with forms of connection and curvature.