Ljapunovovská stabilita řešení diferenciálních rovnic

Abstract

Práce představuje způsob určení stability ekvilibria nelineárních autonomních systémů. Ukazuje se, že pro navržení řízení, nebo stabilizaci nelze vždy využít linearizaci a je třeba zkoumat samotný nelineární systém. Jedna z technik používaných na analýzu stability je Lyapunovova funkce. Cílem bakalářské práce je představit základy teorie stability a ukázat použití Lyapunovovy funkce na analýzu stability ekvilibria nelineárních systémů. Od definice stability se dostaneme k Lyapunovově větě využívající Lyapunovovu funkci k určení stability a nakonec i k aplikaci teorie na hamiltonovské systémy. Vybudovaná teorie je pak využita na příkladu stabilizace inverzního kyvadla. Tento systém je z podstaty nelineární. Pomocí Lyapunovovy funkce se nám ale podaří navrhnout řídící funkci a stabilizovat ho.

This work presents a method used to determine stability of equilibrium of nonlinear autonomous system. For designing a control system or stabilization, linearization cannot always be used and it is necessary to analyze the nonlinear equations. One of the techniques used for determining systems stability is Lyapunov function. The goal of this bachelor work is to present the basics of stability theory and show the application of Lyapunovs function to nonlinear systems equilibrium stability analysis. From the definition of stability we get to the Lyapunovs theorem, using a Lyapunov function to determine stability and finally application of the theory to hamiltonian systems. Presented theory is then used on the example of stabilizing inverted pendulum. This systems is nonlinear by nature. But by using a Lyapunov function we succeed in designing a control function stabilizing the pendulum.