Matematické modelování sdružených transportních procesů v porézním prostředí

Abstract

Tato práce se zabývá teoretickou analýzou sdruženého transportu vody a tepla v nehomogenním částečně saturovaném pórovitém prostředí. V práci je uvedeno podrobné odvození modelu, který je popsán dvěma evolučními nelineárními diferenciálními rovnicemi s degeneracemi ve všech transportních koeficientech. V hlavní části textu je analyzován model se smíšenými Dirichletovými a Neumannovými okrajovými podmínkami. Numerické řešení je založeno na semi-implicitní časové diskretizaci, která vede na soustavu nelineárních stacionárních okrajových úloh s neznámým rozložením teploty a tlakové výšky. Pro popsanou úlohu je v práci dokázána existence a regularita řešení stacionární úlohy v každém časovém kroku. Dále je pomocí vhodných apriorních odhadů pro časové interpolace neznámých funkcí ukázána existence slabého řešení nestacionární úlohy a za dodatečných předpokladů i její jednoznačnost. Dále je v práci stručně analyzován takzvaný duální model, zahrnující odlišný přístup k popisu porézního prostředí. Na závěr je představen duální model s obecnými nelineárními okrajovými podmínkami a model obsahují disperzní rovnici, popisující transport rozpuštěných látek v proudící tekutině.

This thesis deals with a theoretical analysis of a coupled heat and water transport in partially saturated porous media. In the first part of this work, we derive a model, which consists of two evolution nonlinear partial differential equations with degeneracies in all transport coefficients. In the main part of the work we analyze the single porosity model with mixed boundary conditions of Dirichlet and Neumann type. Employed numerical procedure is based on a semi-implicit time discretization, which leads to a system of coupled nonlinear stationary equations with unknown temperature and pressure head. We prove the existence and regularity of the solution to the stationary problem in each time step. Further, by deriving suitable a-priori estimates for the time interpolants of the unknown functions, we prove the existence and uniqueness of the weak solution to the nonstationary problem. Further, we briefly analyze the dual model, arising from a dual porosity approach to the porous media description. Finally, we also present a model with general nonlinear boudary conditions and a coupled diffusion-dispersion-convection model.