Superstatistické a subordinační metody v teorii opčních trhů se stochastickou volatilitou

Abstract

V této práci nejprve vybudujeme teoretický základ nutný ke studiu problémů v kvantitativních financích a následně představíme některé pokročilé koncepty z tohoto odvětví. Ačkoliv naším cílem je konstruovat sofistikované modely, je vhodné začít od těch známějších, méně složitých modelů. Tento postup nám umožní lépe zdůraznit rozdíly mezi modely a také je dostatečně zasadit do kontextu. Významný prostor je věnován stochastickému integrálu a stochastickým diferenciálním rovnicím (SDR). V textu také představíme základy teorie opčních trhů a klasifikujeme přístupy k modelování volatility. Protože si klademe za cíl implementovat subordinační metody, za účelem stochastického modelování volatility, představíme také Lévyho procesy a jejich vlastnosti. V této práci představíme známé modely Blacka-Scholese-Mertona (BSM) a také Hestonův model. V poslední kapitole subordinaci použijeme, abychom zavedli čistě skokové modely - variance gamma model a jeho rozšíření s náhodným příchodem skoků. Ukážeme také, že Hestonův model je vlastně BSM model subordinovaný náhodnému času. V průběhu poukážeme na spojitosti mezi subordinací, stochastickou volatilitou, SDR přístupem a procedurou marginalizace známou například ze superstatistiky.

This thesis first builds the theoretical apparatus that is necessary to study problems in mathematical/quantitative finance and then continues to introduce some advanced concepts within this field. Although our ultimate goal is to construct highly intricate models it is convenient to introduce the less sophisticated and commonly known models first. Advancing in this way allows us to better highlight the contrasts between these models as well as to contextualize them sufficiently. Significant space is devoted to stochastic integral and stochastic differential equations (SDEs). We proceed to introduce option theory and classification of approaches to model volatility. In order to implement subordination methods to model volatility stochastically, we study Lévy processes and their properties. Throughout the text, we probe the well known models such as Black-Scholes-Merton (BSM) and the model due to Heston. In the final chapter, we use subordination to characterize pure jump models - the variance gamma model and its extension with stochastic arrival of jumps. We also show that Heston model is, in a sense, the BSM model subordinated to random clock. In the process we point out the connections between subordination, stochastic volatility, SDE approach and procedure of marginalization encountered for example in superstatistics.