Minimalizace konvexních po částech afinních funkcí pomocí lokálních konzistencí

Abstract

Cílem této práce je vytvořit algoritmus pro minimalizaci konvexních po částech afinních funkcí zadaných jako součet maxim afinních funkcí, přičemž se zaměřujeme na řídké instance velkého rozsahu. K dosáhnutí tohoto cíle zobecňujeme algoritmus Augmenting DAG, který minimalizuje horní mez max-plus problému, a používáme podmínku lokální konzistence, která je relaxací podmínky pro globální optimalitu. V této práci představujeme minimalizační algoritmus a teorii s ním spojenou, dokazujeme správnost tohoto algoritmu a navrhujeme jeho verzi pro celočíselnou aritmetiku, kterou jsme implementovali v C++. Poté při testování na velkých řídkých instancích experimentálně ukazujeme, že náš algoritmus je schopen dosáhnout výsledků, které jsou blízko optima.

The aim of this work is to develop an algorithm minimizing convex piecewise-affine functions given in the form of a sum of pointwise maxima of affine functions. To make this possible for very large sparse instances, we generalize the Augmenting DAG algorithm (previously proposed to minimize an upper bound on the max-sum problem) and use the notion of local consistency, which relaxes the global optimality condition. We develop the algorithm, the related theory, prove its correctness, and propose a version using integer arithmetic which we implement in C++. We then experimentally show that the algorithm can provide near-optimal results, when tested on sparse large instances.