Eternal domination na speciálních třídách grafů

Abstract

V této práci studujeme problém věčné dominace grafu, který je známý pod názvem m-eternal domination problem. Je zadán graf G a na vrcholy G umístíme ochránce. Následně jsou na vrcholy postupně vedeny útoky. Po každém útoku se musí nějaký ochránce přesunout na ohrožený vrchol. Každý vrchol smí okupovat nejvýše jeden ochránce. Nejmenší počet ochráců, který ochrání G, značíme g[?]m(G). Zabýváme se kaktusovými grafy G takovými, že každá hrana v G je na cyklu o velikosti 3k + 1 pro nějaké k [?] N. Ukazujeme, že pro každé takové G na n vrcholech platí g[?]m(G) = 1 + (n [?] 1)/3. Představujeme problém m-eternal guard configuration, který je stejný jako m-eternal domination problem, ale povoluje více ochránců na jednom vrcholu. Nejmenší nutný počet ochránců pro graf G označujeme jako G[?]m(G). Popisujeme lineární algoritmus pro výpočet G[?]m(G) v kaktusových grafech, kde každá artikulace je ve dvou blocích. Navíc předkládáme lineární algoritmus pro výpočet g[?]m(G) v klikových stromech. Přikládáme implementaci v C++ těchto algoritmů spolu s exponenciálním algoritmem, který řeší oba problémy v obecných grafech.

In this thesis, we study the m-eternal domination problem. Given graph G, guards are placed on vertices of G. Then vertices are subject to sequential attacks. After each attack, a guard must move into the attacked vertex. At most one guard is allowed to occupy any vertex. We denote the minimum number of guards, that can defend G indefinitely as g[?]m(G). We consider cactus graphs G, such that every edge in G is on a cycle of size 3k + 1 for some k [?] N. We show that for every such G on n vertices, g[?]m(G) = 1 + (n [?] 1)/3. We introduce the m-eternal guard configuration problem, being the same as the m-eternal domination problem, except it allows multiple guards on single vertex. We denote the minimum number of required guards in G as G[?]m(G). We present a linear algorithm for computing G[?]m(G) in cactus graphs, where every articulation is in two blocks. Moreover, we design a linear-time algorithm for computing g[?]m in clique trees. We include a C++ implementation of these algorithms, together with an exponential algorithm for both problems in general graphs.