Spektrální analýza kvantových nanostužek

Abstract

Tato diplomová práce se zabývá zobecněním několika vět o spektru Laplace?Beltramiho operátoru s dirichletovskými hraničními podmínkami definovaného na kvantových nanostužkách v libovolné dimenzi, spolu s nalezením spektra pro Möbiův pásek. Definujeme pojem kvantového pásku v libovolné dimenzi a zavádíme na něm kvantový Hamiltonián. Věty o lokalizaci esenciálního spektra pro asymptoticky ploché pásky, o vázaných stavech v ohnutých páscích a Hardyho nerovnost pro zkroucené pásky jsou prezentovány. Otázka spektra Möbiova pásku je řešena pro jeho tři různé modely a to jak analyticky, tak numericky. Výsledky jsou pak vzájemně porovnány. Dokážeme, že v limitě tenkého pásku dva modely k sobě konvergují v norm?resolventním smyslu.

The aim of this thesis is the generalization of several theorems about the spectral behaviour of the Laplace?Beltrami operator with Dirichlet boundary condition on quantum nanoribbons to arbitrary dimension as well as finding the spectrum of the (curved) Möbius strip. The notion of a quantum ribbon in an arbitrary dimension is introduced along with the proper definition of a quantum Hamiltonian for such strip. Theorems about the localization of essential spectrum for asymptotically flat strips, about bound states in purely bent strips and Hardy inequalities for twisted strips are presented. The spectrum of the Möbius strip is tackled in three different models both analytically and numerically, with comparisons of the results. We prove the norm?resolvent convergence in the thin strip limit for two of those models.