Využití symetrií při řešení minimálních problémů v počítačovém vidění

Abstract

Mnoho problémů v počítačovém vidění vyžaduje vyřešení soustavy polynomiálních rovnic. Praktické systémy s konečným počtem řešení mohou mít velký počet řešení (více než 100). Čím více má soustava řešení, tím obtížnější je vyřešit ji. Můžeme však zkontrolovat, zda je možné získat z jednoho řešení v1 jiné řešení v2 (např. vynásobením v1 nějakou maticí). Pokud existují takové matice, říkáme, že polynomiální soustava má symetrie. Pokud budeme schopni tyto symetrie najít, pak jsou dva způsoby, jak zjednodušit řešení polynomiální soustavy. První způsob je zjednodušit původní polynomiální soustavu, abychom získali jinou (redukovanou) polynomiální soustavu s menším počtem řešení. Řešením redukované polynomiální soustavy pak můžeme získat všechna řešení původní polynomiální soustavy maticovým násobením řešení redukované soustavy. Druhý způsob je použit akční matici, která, po určitém výběru monomů, se stává blokově diagonální.

Many problems in computer vision require solving a system of polynomial equations. Practical systems with a finite number of solutions may have a big number of solutions (greater than 100). The more the system has solutions, the more difficult it is to solve it. However, we can check if it is possible to get from one solution v1 another solution v2 (e.g. by multiplying v1 by some matrix). If there are such matrices, then we say that a polynomial system has symmetries. If we are able to find these symmetries, then there are two ways how to simplify the solution of the polynomial system. The first is to simplify the original polynomial system to get another (the reduced) polynomial system with a smaller number of solutions. Solving the reduced polynomial system, we can then obtain all the solutions of the original polynomial system as a matrix multiplication of the solutions of the reduced system. The second is to use an action matrix, which, after choosing specific monomials, becomes block-diagonal.