Online Ramsey teorie

Abstract

Tato práce se zabývá online Ramseyovou teorií. Problém je definován jako kombinatorická hra Buidera a Paintera. Je dán libovolný graf H a hrací plocha nekonečně mnoha nezávislých vrcholů. Každé kolo Builder postaví novou hranu do grafu hrací plochy a Painter ji obarví červeně nebo modře. Online Ramseyovo číslo grafu H je minimální počet kol, které Builder potřebuje, aby vynutil vznik jednobarevného podgrafu isomorfního s H uvnitř hrací plochy. Online Ramseyovo číslo se často srovnává se size-Ramsey číslem, což je nejmenší počet hran grafu takového, že libovolné jeho obravení dvěma barvama obsahuje jednobarevnou kopii H. Size-Ramsey číslo shora omezuje online Ramseyovo číslo, nicméně zdá se obtížné dokázat, že je mezi nimi asymptoticky významný rozdíl. Existuje pouze jeden výsledek takového typu, od Conlona [On-line Ramsey Numbers, SIAM J. Discrete Math. 2009], který dokázal, že pro nekonečně mnoho úplných grafů je online Ramseyovo číslo asymptoticky menší než size-Ramsey číslo. V této diplomové práci je popsána nekonečná rodina stromů, pro které je online Ramseyovo číslo asymptoticky menší než size-Ramsey číslo. Také jsou v ní dokázány horní meze pro online Ramseyovo číslo cyklů a k-podrozdělených hvězd. A nakonec je přesně určena hodnota omezeného online Ramseyova čísla pro trojúhelníky versus hvězdy na třídě souvislých grafů.

In this thesis we study the online Ramsey theory. The problem is defined as a game between Builder and Painter. They are given an arbitrary graph H and a playground of infinite number of independent vertices. On each round, Builder builds a new edge to the playground and Painter colors it either red or blue. The online Ramsey number of a graph H is the minimum number of rounds Builder needs to force a monochromatic H to appear as a subgraph of the playground. We compare the online Ramsey number to the size-Ramsey number, which is the minimum number of edges in a graph, that for arbitrary 2-edge-coloring contains a monochromatic copy of H. The size-Ramsey number upper bounds the online Ramsey number, however it seems to be difficult to show that there is an asymptotic gap between them. There is only one known result of this type, by Conlon [On-line Ramsey Numbers, SIAM J. Discrete Math. 2009], who showed that for an infinite number of complete graphs, the online Ramsey number is asymptotically smaller than the size-Ramsey number. In this thesis we describe an infinite family of trees for which the online Ramsey number is asymptotically smaller than size-Ramsey number. We also prove upper bounds for online Ramsey numbers of cycles and k-subdivided stars. And finally we provide an exact value of online Ramsey numbers of triangles versus stars restricted to connected graphs.