Nodální čáry na dvourozměrných omezených oblastech

Abstract

V této práci se zaměřujeme na problematiku tzv. Dirichletovského laplaciánu na omezené oblasti v rovině. Konkrétně se věnujeme kvalitativním vlastnostem množin (známých jako nodální čáry), které jsou vlastní funkcí zobrazeny na nulu. V 60. letech uvedl L.E.Payne domněnku, že tyto čáry druhých vlastních funkcí mají neprázdný průnik s hranicí oblasti. Nejprve se zaměřujeme na oblasti, kde lze řešení najít analyticky. Dále se věnujeme numerickému řešení, které se zakládá na min-max principu a napočítáváme analyticky známá řešení.

This degree project deals with the so-called Dirichlet Laplacian on a bounded domain in plain. In particular we are concerned with qualitative properties of the zero sets (that are known as the nodal lines) of its eigenfunctions. It was conjectured by Payne in 1960s that for the second eigenfunction these lines should have non-empty intersection with the boundary of the region. Firstly we focus on domains that permit explicit analytical solutions. Then we apply numerical methods based on min-max principle to reproduce these results.