Aplikace adjungovaných rovnic pro hledání parametrů obyčejných a parciálních diferenciálních rovnic

Abstract

Tato práce se zabývá odhadem parametrů vybraných matematických modelů popsaných pomocí soustav obyčejných a parciálních diferenciálních rovnic z dat. K výpočtu gradientu, který použijeme v rámci optimalizace ztrátové funkce, představíme odvození adjungované rovnice, kterou v práci pro jednotlivé modely odvodíme. Pro srovnání dále porovnáme tuto metodu s přímým výpočtem gradientu pomocí metody konečných diferencí. Výsledné rovnice řešíme pomocí numerických metod implementovaných v C++. Nakonec provedeme výpočetní studii, ve které porovnáme obě metody a jejich funkčnost na jednotlivé modely. S výjimkou případu výpočtu gradientu pomocí adjungované rovnice pro Lorenzův model jsme ukázali, že parametry modelů je možné pomocí těchto metod odhadnout.

This work deals with the estimation of parameters of selected mathematical models described by systems of ordinary and partial differential equations from data. To calculate the gradient we use in the optimization of the loss function, we present derivation of the adjoint equation that we will derive in this paper for each model. For comparison, we further compare this method with the direct calculation of the gradient using the finite difference method. We solve the resulting equations using numerical methods implemented in C++. Finally, we perform a computational study in which we compare the two methods and their performance on individual models. Except for the case of calculating the gradient using the adjoint equation for the Lorenz model we have shown that the parameters of the models can be estimated using these methods.