Matematická analýza invariantních množin

Abstract

Tato práce se zabývá základními pojmy z problematiky invariantních množin a fraktální geometrie. Jsou v ní zmíněny nejznámější fraktální množiny, popsána jejich konstrukce a vlastnosti z pohledu topologie a teorie míry. Jsou zde definovány dolní a horní induktivní dimenze, jejich vzájemné vztahy a sumační vlastnosti. Dále jsou zde uvedeny dva postupy konstrukce vnější míry a zavedení Hausdorffovy míry a Hausdorffovy dimenze. Následně je uvedena problematika systémů iterovaných funkcí a možnosti vizualizace invariantních množin. Závěrečná část se věnuje vizualizaci invariantních množin pomocí algoritmu chaos game, který využívá systémy iterovaných funkcí a vliv pravděpodobnosti výběru funkcí na zobrazení invariantních množin.

This thesis is focused on basic concepts of invariant sets and fractal geometry. The most famous fractal sets are presented here as well as their construction and properties in terms of topology and measure theory. The small and large inductive dimensions are defined as well as their relations and summation properties. Furthermore, two procedures for the construction of the outer measure and the introduction of the Hausdorff measure followed by the definition of Hausdorff dimension are presented here. Subsequently, the iterated function systems and the possibility of visualization of invariant sets is described. The final part is dedicated to the visualization of invariant sets using the chaos game algorithm which uses iterated function systems and the effect of the probability of selecting functions on the shape of invariant sets.