Rozklad grafu na indukované hvězdy vzhledem ke strukturálním parametrům

Abstract

Zabýváme se problémem Rozdělení na indukované hvězdy na neorientovaných grafech. Cílem je rozdělit graf na q množin S_1, ..., S_q tak, že každá množina S_i indukuje hvězdu (graf izomorfní grafu K_{1, r} pro nějaké r >= 0). Je známo, že pro každé pevné q >= 3 je tento problém NP-úplný. Existuje ale exaktní algoritmus, který dokáže rozdělit graf na q indukovaných hvězd v čase 3^n n^{O(1)} a použije polynomiálně mnoho paměti. Není nám známo, že by existoval exaktní parametrizovaný algoritmus pro tento problém. V této práci předvedeme následující výsledky: (1) Problém patří do třídy FPT pokud budeme parametrizovat vrcholovým pokrytím grafu a existuje exaktní algoritmus běžící v čase O(k^{2k+1} n^2), kde k je velikost minimálního vrcholového pokrytí grafu. (2) Problém patří do třídy FPT pokud budeme parametrizovat stromovou šířkou grafu a a existuje exaktní algoritmus běžící v čase O(tw(G)^{2tw(G)}* n), kde tw(G) je stromová šířka grafu. (3) Pro každé pevné q platí, že problém lze vyřešit v lineárním čase na grafech s omezenou klikovou šířkou. Také poskytujeme jednoduchou implementaci algoritmu parametrizovaného vrcholovým pokrytím grafu v jazyce C++ a vyhodnotili jsme výkonnost implementace.

An induced star partition of an undirected graph G = (V, E) is a partition S_1, ..., S_q of V(G) such that each set S_i induces a star (graph isomorphic to K_{1, r} for some r >= 0. The Induced Star problem asks whether G admits an induced star partition of size q. This problem was proven to be NP-complete for each fixed q >=3 and has an exact 3^n n^{O(1)} time polynomial space algorithm. To the best of our knowledge, there are no known algorithms based on structural parameters for the problem. We present the following results: (1) The problem is FPT when parameterized by the vertex cover number of the graph and there is an exact O(k^{2k+1} n^2) time algorithm, where k is the vertex cover number of the input graph. (2) The problem is FPT when parameterized by the treewidth of the graph and there is an exact O(tw(G)^{2tw(G)} * n) time algorithm, where tw(G) is the treewidth of the input graph. (3) For a fixed q, the problem can be solved linear time on graphs with bounded cliquewidth. We also provide a simple implementation of our algorithm parameterized by the vertex cover number in C++ and evaluate its performance.