Adiabatické přechody v časově diskrétních systémech

Abstract

Zabýváme se jednorozměrnou Hadamardovou procházkou na nekonečné dis-krétní síťce. Její prostorová homogenita může být narušena: například defekty v mincovém prostoru. V této práci představíme analytické řešení problému vlastních čísel Hadamardovy procházky s jedním mincovým defektem. Dále uvedeme konečnou analogii zkoumaného systému a zavedeme patřičné okrajové podmínky. Přestože se spektrální vlastnosti obou modelů značně liší, podléhají při perturbacích jejich spektra překvapivě podobnému vývoji. Této vlastnosti lze s výhodou využít, neboť můžeme ve finitním případě numericky zkoumat situace, jež analyticky řešit neumíme. Ze spektrálních vlastností konečného perturbovaného systému pak můžeme usuzovat na vlastnosti spekter nekonečných procházek. Tento postup je vhodný pro analýzu adiabatických přechodů mezi více mincovými defekty.

We consider a one-dimensional Hadamard walk on an infinite lattice. Its space homogeneity may be disturbed by various coin defects. We provide an analytical solution to the eigenvalue problem for a general single-poin defect. We also provide a comparison with a finite model of the Hadamard walk. While the finite and infinite model have significantly different spectral properties, their behaviour under coin perturbations is strikingly similar. This property is to our benefit, for we may numerically simulate cases with no known analytical solution and infer spectral properties of walks on infinite grids. This method is particularly useful while examining adiabatic transitions between multiple coin perturbations.