Gradovaná symplektická geometrie

Abstract

Jedním z možných zobecnění hladkých variet jsou takzvané Z-gradované variety. Zde zkoumáme jejich podskupinu, N-variety, které rigorózně zavádíme způsobem, který nejprve ilustrujeme na klasických hladkých varietách. Dále definujeme jisté základní pojmy, jako gradovaný vektorový prostor či gradovaný okruh, pro které ukážeme platnost vybraných tvrzení, známých pro jejich negradované protějšky. Na N-varietách také zavádíme další geometrické struktury, jako vektorová pole nebo diferenciální formy. Nakonec definujeme symplektické N- a NQ-variety, které ilustrujeme na konkrétních příkladech.

One of the possible generalizations of a smooth manifold is a so-called Z-graded manifold. Here we are concerned with their special case: N-manifolds, whom we introduce rigorously in a way we first demonstrate on classical smooth manfolds. Next, we define certain fundemental concepts like a graded vector space or a graded ring, and we show them to enjoy several of the same properties as their non-graded counterparts. We also introduce further geometric structures on N-manifolds, such as vector fields or differential forms. Finally, we define symplectic N- and NQ-manifolds and provide their concrete examples.