DSOS a SDSOS optimalizace pro strategické hry

Abstract

Aplikujeme optimalizaci Scaled-Diagonally-Dominant-Sum-of-Squares (SDSOS) k řešení polynomiálních her s nulovým součtem o dvou hráčích. Náš algoritmus vychází z programu Sum-of-Squares (SOS) formulovaného Parrilem, který jsme rozšířili pro řešení her se semialgebraickými prostory strategií. I přestože je optimalizace SDSOS schopna řešit větší problémy než optimalizace SOS, pro náš problém jsou její výsledky příliš konzervativní. Problém předvedeme na příkladech z literatury, a také na hrách se zadaným ekvilibriem vytvořených pomocí Galovi a Grossovi rovnice. Představíme také rozšíření algoritmu Double Oracle pro řešení semialgebraických her a demonstrujeme rychlost jeho konvergence. Veškerý zdrojový kód je dostupný na Github a Gitlab. Důležité úryvky kódu vysvětlíme na konci práce.

We apply Scaled-Diagonally-Dominant-Sum-of-Squares (SDSOS) optimization to the problem of two-player zero-sum polynomial games. Our baseline is a version of a Sum-of-Squares (SOS) Program by Parrilo extended to solve polynomial games over semialgebraic sets. SDSOS optimization (via a change-of-basis method) promises to alleviate the large problem sizes inherent to SOS optimization without a significant loss of accuracy. Unfortunately, the results are overly conservative to be useful for our problem. We show the results on examples extracted from the literature, and on games with prescribed solutions generated using an equation by Gale and Gross. In addition, we extend the Double Oracle algorithm to solve semialgebraic games and demonstrate its speed of convergence. All our code is available online on Github and Gitlab. We explain all of the fundamental parts of the source code in the appendix of this thesis.