Součtové grafy

Abstract

Neorientovany graf G=(V,E) nazveme součtovym grafem, pokud existuje injektivni funkce s: V - N přiřazujici vrcholům kladna cela čisla tak, že pro každe dva vrcholy u,v [?] V plati, že jsou v grafu G spojeny hranou pravě tehdy, když existuje třeti vrchol w [?] V takovy, že s(w) = s(u) + s(v). Neni těžke nahlednout, že žadny souvisly graf nemůže byt součtovym grafem, jelikož vrchol s největšim priřazenym čislem nemůže mit žadneho souseda. Proto se snažime najit součtove čislo grafu G, což je minimalni počet izolovanych vrcholů, ktere je třeba ke grafu G připojit, abychom z něj součtovy graf udělali. Zminěny problem studujeme v cele jeho šíři. Nejdřive se věnujeme formalnimu zavedeni všech pojmů a studiu vlastnosti součtovych grafů. Pro vybrane třidy grafů pak uvadime deterministicke algoritmy, ktere z grafu G vytvoři součtovy graf za použiti minimalniho možneho počtu přidanych vrcholů. V posledni časti prace prezentujeme naš exaktni exponencialni algoritmus, ktery dokaže najit součtove čislo libovolneho grafu.

A simple undirected graph G=(V,E) is said to be a sum graph if there is an injective function s: V - N such that for every u,v [?] V there is an edge {u,v} in E if and only if there exists a vertex w [?] V such that s(w) = s(u) + s(v). It is easy to see that none connected graph is a sum graph since the vertex v with the largest label is not adjacent to any other vertex. Therefore, we investigate the sum number of a graph G, which is the minimum number of isolated vertices we must add to G to obtain a sum graph. We study this problem in its entirety. We provide complete definitions of sum graphs and their properties. For some graph families, we investigate their sum numbers and provide exact labeling algorithms to find an optimal labeling. In the last part of this thesis, we present exact exponential algorithms that find a sum number for an arbitrary graph.