Vyhodnocení přesnosti a účinnosti numerických metod pro kontaktní úlohy

Abstract

Tato diplomová práce se zabývá variačními metodami, které umožňují formulovat problém kontaktu lineárně pružného tělesa bez tření jako nepodmíněnou variační rovnost, která může být posléze diskretizována a řešena metodou konečných prvků. Hlavní důraz je kladen na Nitscheho metody podle Wriggerse a Zavariseho [56] a podle Fabrého, Pousina a Renarda [15]. V současné době nejrozšířenější konečněprvkové softwarové balíky, jako jsou ANSYS, ABAQUS a COMSOL, využívají pro modelování kontaktu především standardní metody penalty a smíšené metody [57, Kapitola 1.1.1, p.7]. Ukazuje se, že právě Nitscheho metody mají potenciál překonat klasické obtíže spojené se standardními metodami penalty a smíšenými metodami. Na rozdíl od metod penalty jsou Nitscheho metody konzistentní a kontaktní okrajové podmínky jsou vynuceny přesně (na teoretické úrovni). Je také možné využít mnohem menší hodnotu parametru penalty, čímž se lze vyhnout problémům spojeným se špatným podmíněním úlohy, charakteristickým pro metody penalty. Nitscheho metoda ale současně nevyžaduje přidání žádných dalších neznámých (Lagrangeových multiplikátorů) a výsledný diskrétní systém tak není nadbytečně rozšířen, jako je tomu v případě smíšených metod. Oproti smíšeným metodám také není třeba věnovat pozornost splnění Babuškovy-Brezziho podmínky. V této diplomové práci se ukazuje, že analyzované Nitscheho metody úzce souvisejí s metodami penalty a metodou augmentovaného lagrangiánu. V práci jsou prezentovány slabé formulace těchto metod a zkoumají se rozdíly mezi formulací Nitscheho metody podle Wriggerse a podle Fabrého, Pousina a Renarda. Všechny metody jsou implementovány do prostředí FEniCS (výpočetní platforma pro řešení parciálních diferenciálních rovnic metodou konečných prvků) a jejich přesnost a výkonnost se testuje na různých dvourozměrných a trojrozměrných problémech kontaktu lineárně pružného tělesa s dokonale tuhou rovinou. Na jednoduchém dvourozměrném příkladu je ukázáno, že funkce, kterou získáme jako levou stranu diskretizované slabé formy Wriggersovy varianty Nitscheho metody, není spojitá vzhledem k neznámým stupňům volnosti. Tento poznatek vysvětluje problémy s konvergencí Newtonovy metody při řešení Wriggersovou variantou Nitscheho metodou, které jsme zaznamenali při numerických experimentech.

This thesis is concerned with various methods that allow us to formulate the frictionless linear elastic contact problems as an unconstrained variational equality, which is then discretised and solved with the finite element method. The main focus is on Nitsche methods in the forms used respectively by Wriggers and Zavarise [56] and Fabré, Pousin and Renard [15]. Currently, standard penalty and mixed methods are dominant in the modern leading finite element software packages such as ANSYS, ABAQUS and COMSOL [57, Chapter 1.1.1, p.7]. Nitsche methods display a potential to overcome classic drawbacks of the penalty and mixed methods. Unlike penalty methods, Nitsche methods are consistent, and contact boundary conditions are enforced precisely (on the theoretical level). Also, a significantly smaller value of the penalty parameter is necessary and the possible ill-conditioning, so characteristic for penalty methods, is thus avoided. At the same time, no additional unknowns (Lagrange multipliers) are introduced; thus, the corresponding discrete system is not enlarged, and one does not have to worry about the Babuška-Brezzi condition. In this thesis was shown that the analysed Nitsche methods are closely related to penalty methods and the augmented Lagrangian method. The weak forms of all these methods are presented, and differences between Wriggers' version and Fabré, Pousin and Renard's version of Nitsche method are investigated. All methods are implemented in FEniCS (the computational platform for solving partial differential equations with the finite element method), and their accuracy and efficiency is tested on various two- and three-dimensional numerical examples of contact of an elastic body with a rigid plane. By means of the simple two-dimensional example it is shown that the function obtained as the left-hand side of the discretised weak form of the Nitsche-Wriggers method is not continuous with respect to the unknown displacement DOFs. This finding explains the convergence problems (of Newton's method) that the Nitsche-Wriggers method suffers from, unlike other investigated methods.