Cantor, Gödel, Turing a paradox lháře

Abstract

Tato bakalářská práce se zabývá vysvětlením jednotlivých problémů, zasazením do souvislostí a rozborem důkazů. Cantorova věta, Gödelova věta a problémem zastavení Turingova stroje jsou tři důležitá negativní tvrzení z různých oborů matematiky a informatiky. Spojuje je fakt, že se v jejich důkazech nějakým, avšak rozdílným způsobem využívá metoda diagonalizace. Ve všech případech lze jádro důkazu schematicky ukázat na nekonečné čtvercové tabulce. Pomocí "negace diagonály" se vytvoří nový prvek, jenž v tabulce nemůže být obsažen a z jehož existence vyplývá negativní výsledek těchto tří vět. Způsob vytvoření tabulky a formální popis "negace diagonály" je však odlišný. Jednotlivé důkazy nelze přímočaře mezi sebou převádět. Avšak přes Richardův paradox lze ukázat, jak se z Cantorovy věty odvodí Gödelova věta s použitím paradoxu lháře. Ukazuje také podobnost mezi universálním Turingovým strojem a Gödelovou formulí, která je založena na stejném principu jako je paradox lháře.

This bachelor's thesis deals with the explanation of individual problems, setting them in context and analyzing how to prove them. Cantor's theorem, Gödel's theorem, and the Halting problem are three important negative statements from various fields of mathematics and computer science. They are united by the fact that the diagonalization method is used in their proof, even though in different ways. In all cases, the core of the proof can be shown schematically on an infinite square table. The "diagonal negation" creates a new element which cannot be included in the table and whose existence results in a negative result of these three theorems. However, the way the table is created and the formal descriptions of the "diagonal negation" are different. The individual pieces of evidence cannot be transferred directly into each other. However, with Richard's paradox, it is possible to show how Gödel's theorem is derived from Cantor's theorem using the Liar's paradox. It also shows the similarity between the universal Turing machine and the Gödel's formula, which is based on the same essence as the Liar's paradox.