Iterace aritmetických funkcí a jejich cykly

Abstract

Nechť je b základ číselné soustavy. Pak ciferněsoučtové zobrazení S : 5ln ~ 5ln definujeme předpisem S (x) = g,". n f(x;), kde f : (0, 1..., b — 1) ~ 5ln a x; jsou cifry přirozeného čísla x zapsaného v základu b. Dokázali jsme, že atraktor takových funkcí je shora omezen. Našli jsme cykly dříve studovaných ciferněsoučtových zobrazení tvaru S, b(x) = g". n x'., kde e je přirozené. Pro e = 2 tato funkce určuje úlohu šťastných čísel. Předkládáme menší horní hranici atraktoru funkcí S, b pro obecné e. Tyto funkce také zobecňujeme na lineární rekurentní numerační systémy a nacházíme jejich cykly pro exponenty e = 2 a e = 3. Dále uvedeme nalezené cykly ciferněsoučtových zobrazení s f(x;) = C(x;), kde C je Collatzova funkce. Nakonec představíme složené funkce C o S, b, dokážeme, že jejich atraktor je též omezený a ukážeme jejich cykly pro exponenty e = 2 a e = 3.

Given a base b, a digit sum function is a map S : 5ln ~ 5ln defined as S(x) = g,". n f(x;), where f : (0,1...,b — 1) ~ 5ln and x; are digits of the natural number x written in base b. We prove that the attractor set of such functions is bounded. We cover cycles of previously studied digit sum functions of the form S, b(x) = g,". n x'.,where e is natural. For e = 2 this corresponds to the well-known happy number problem. We give an improved upper bound of the attractor set of S,b for general e. We also generalise these functions to linear recurrent numeration systems and determine their cycles for exponents e = 2 and e = 3. Additionally, we give cycles of digit sum functions with f(x;) = C(x;), where C is the Collatz function, in standard b-ary systems. Lastly, we introduce the composite functions Co S,t„prove that their attractor set is also bounded and give their cycles for exponents e = 2 and e = 3.