Stochastic Micro-modelling of Historic Masonry

Abstract

Historické konstrukce jsou pro společnost významným kulturním aspektem, neboť spojují současnost s minulostí. Pro zachování historických konstrukcí je nutné porozumět jejich mechanickému chování, což následně umožní posoudit úroveň jejich bezpečnosti a určit, zda je nutné jejich zesilování. Provádění nelineární analýzy těchto konstrukcí je obvykle složité vzhledem k jejich velmi nepravidelným geometrickým tvarům, přirozené variabilitě materiálů i nedostatku experimentálních dat. Toto konstatování zejména platí pro zděné kostely, jakým je například Kostel sv. Anny, který byl postaven v 18. století v České Republice a patří do tzv. skupiny broumovských kostelů. Rešeršní část této diplomové práce je zaměřena na moderní metody analýzy únosnosti zděných konstrukcí a na možnosti stochastické analýzy s využitím náhodných polí. Předložená práce detailně popisuje specifickou metodiku pro určení tlakové pevnosti zdiva a prezentuje její využití, výsledky a diskusi na příkladu Kostela sv. Anny. V práci je použit přístup založený na víceúrovňovém 2D modelování pomocí metody konečných prvků. Na mezoskopické úrovni byly na základě statistické analýzy zdiva malé kameny zahrnuty společně s maltou do fáze zhomogenizované matrice, zatímco velké kameny byly uvažovány jako diskrétní nehomogenity. Materiálové charakteristiky zmíněné matrice pak byly určeny pomocí modelů na mikroúrovni, ve kterých byly jako jednotlivé fáze uvažovány pouze malta (matrice) a malé kameny (nehomogenity). Mikromodely byly vytvořeny na základě pozorovacích oken, která byla umístěna do náhodně generované statisticky ekvivalentní morfologie mikrostruktury. Simulací zkoušek v jednoosém tlaku a tahu byla získána statistická rozdělení tlakové a tahové pevnosti, tuhosti a lomové energie. Na mezoúrovni pak byly celková tuhost a tlaková pevnost určeny simulacemi testů v jednoosém tlaku na modelech sestávajících z velkých kamenů zasazených do zhomogenizované matrice. Při prvním způsobu výpočtu byly vlastnosti matrice uvažovány jako konstantní v celém jejím objemu, přičemž byly použity střední hodnoty parametrů vypočtených z mikroúrovňových modelů. Při druhém způsobu pak byla použita pro parametry náhodná pole, čímž byla zohledněna přirozená variabilita a nehomogenita matrice. Popsaná víceúrovňová studie byla navíc provedena pro dvě různé prahové hodnoty velikosti definující "malé" kameny, aby byl určen vliv této hodnoty. Na základě výpočtů provedených na mezoúrovňových modelech s matricí s konstantními vlastnostmi byla určena průměrná tlaková pevnost zdiva v rozsahu 0,95-0,9 MPa, přičemž nižší hodnota odpovídá modelům, kde matrice měla větší objemové zastoupení. Byl pozorován obecný trend, že tlaková pevnost klesala od hodnoty pro samotnou maltu, přes hodnoty získané z mikroúrovňových modelů, až k hodnotám z mezoúrovňových modelů. Tento jev je přisuzován vysokým koncentracím napětí ve fázi malty/matrice, které byly vyvolány nepravidelnou topologií kamenů. Modely, kde byla variabilita matrice zohledněna pomocí náhodných polí, vykazovaly podobné mechanismy porušení jako modely s konstantní matricí a jejich pevnosti byly o 5-6 % nižší. S ohledem na takto malý vliv na pevnost i režim porušení je vliv prostorové variability vlastností matrice považován za nevýznamný. Na závěr byly výsledky studie ověřeny pomocí kvalitativních metod. Tyto výsledky mohou být použity pro modelování pomocí ekvivalentního kontinua a další analýzu kostela sv. Anny.

Historic structures are an important cultural aspect of societies as they tie the present day to the past. To preserve these historic structures, understanding of the structural behavior is necessary to help determine the safety level and verify if strengthening is required. In most cases, the non-linear structural analysis of these structures is difficult to perform due to the highly irregular geometric features, the inherent variability within the materials, as well as the limited amount of experimental data available. This is especially true in the case of masonry churches such as St. Ann's Church, which was constructed in the 18th century in the Czech Republic and belongs to the so-called Broumov group of churches. The state-of-art review encompassed within the work focuses on current methodologies for analyzing the strength of masonry structures and the viability of stochastic analysis along with the utilization of random fields. The present work details a specific methodology, subsequent application, and a presentation and discussion of the results for the overall compressive strength of the masonry walls of St. Ann's Church. A multi-scale 2D finite element modelling approach was adopted. Based on the statistical analysis of the walls, in a mesoscale-level representation of masonry, small stones were grouped in with the mortar and treated as a matrix component with homogenized properties, while large stones were treated as discrete inhomogeneities. To characterize this matrix component, microscale-level models were used, in which only the small stones and mortar were represented as inhomogeneity and matrix phases, respectively. These models were built using test-windows placed in randomly generated, statistically equivalent microstructure morphologies. By simulating uniaxial compression and tension tests, statistical distributions for compressive and tensile strength, stiffness, and fracture energy were determined. On the mesoscale-level, overall stiffness and compressive strength were determined by simulating uniaxial compression tests on models considering only the large stones embedded in the homogenized matrix. An initial calculation was run with uniform properties for the matrix using mean values obtained from the micro-scale models. Secondly, random fields were utilized to describe the matrix properties to account for the inherent variability and inhomogeneity of the matrix. Furthermore, the multi-scale study was performed for two different threshold sizes defining the "small" stones to compare differences. Based on the analyses completed for the meso-scale models with uniform matrix, the average compressive strength was calculated to be 0.95-0.9 MPa, with the lower bound values coming from models with decreased projected stone area. Overall, the compressive strength decreased from the mortar to micro-scale to mesoscale-levels due to high stress concentrations in the mortar/matrix material caused by the irregular topology of the stones. The models where matrix variability was represented with random fields exhibited similar failure mechanisms but with strengths 5-6% lower than the models with a uniform matrix. Considering such low changes in strength with little to no influence on the development of the failure mechanisms, the effect of the spatial variability of the matrix properties was considered insignificant. Lastly, qualitative methods were utilized to validate the results to be used in equivalent continuum-based modelling and further analysis of St. Ann's Church.