Invariantní řešení a kvalitativní analýza reakčně-difuzních rovnic na rostoucích oblastech

Abstract

Reakčně difuzní rovnice jsou hojně užívaný a studovaný model se širokým uplatněním. V této práci se budeme zabývat dvěma důležitými případy: oblast rostoucí pouze z kraje a stejnoměrně rostoucí oblast s nekonstantní difuzí. Nejprve se seznámíme se symetriemi parciálních diferenciálních rovnic. Dále představíme reakčně-difuzní systémy na rostoucích oblastech. Použijeme symetrie parciálních differenciálních rovnic k nalezení takzvaných invariantních rešení pro oba dva zmiňované případy. Nakonec nalezneme, která z těchto invariantních řešení splňují Dirichletovy, Neumannovy, Robinovy a periodické okrajové podmínky.

The reaction-diffusion equations represent a very used and studied model with many applications. In this work we focus on the effect of growth in two important cases: apical growth and uniform growth with non-constant diffusion. We introduce the concept of symmetries of partial differential equations. Next we formulate the reaction-diffusion system on growing domains. We use the symmetries of partial differential equations to find the so-called invariant solutions for the apical growth and the uniform growth with non-constant diffusion. In both cases we consider the scalar case and the vector case for two components. Finally we find invariant solutions which also satisfy Dirichlet, Neumann, Robin a periodic boundary conditions.