Lokalizace na manhattanské mřížce

Abstract

Tato práce se věnuje problematice lokalizace v kvantových procházkách na manhattanské mřížce a L-mřížce. Poté, co shrneme základní charakteristiky kvantových procházek a uvedeme problém lokalizace, ukážeme, jak lze kvantové procházky na těchto dvou orientovaných mřížkách převést na kvantové procházky na neorientované mřížce. V případě homogenních kvantových procházek určíme obecný tvar mince, která vede k tzv. uvěznění. Pro tyto dvě orientované mřížky ukážeme, že tento efekt je triviální, neboť vede na čistě bodové spektrum evolučního operátoru. Nakonec se zabýváme Andersonovskou lokalizací na manhattanovské mřížce, uníž na základě numerických simulací docházíme k hypotéze, že Andersonovská lokalizace je přítomna pouze v případě procházek s mincemi, které jsou blízké mincím vedoucím k uvěznění.

This thesis addresses the problem of localization in quantum walks on the Manhattan lattice and the L-lattice. Having summarized basic characteristics of quantum walks and the effect of localization in the first part, we show how the problem of quantum walks on these two oriented lattices can be formulated as quantum walks on undirected lattices. In the case of homogeneous quantum walks we determine the general form of the so-called trapping coin. For both of these lattices it is showed that this effect is trivial since the corresponding evolution operator possesses purely point spectrum. Finally we deal with Anderson localization on the Manhattan lattice. Numerical simulations lead us to hypothesis that Anderson localization arises only in cases when the coin operators are a small perturbations of those exhibiting trapping.