Dvourozměrný Diracův operátor s translačně invariantním elektromagnetickým polem

Abstract

Studujeme spektrální vlastnosti Diracova operátoru s magnetickým polem, který vedle jiných fyzikálních systémů efektivně popisuje Diracovy fermiony ve dvoudimenzionálním uhlíku, grafenu, při nízkých energiích. Uvažujeme-li pouze translačně invariantní pole, lze tento operátor rozložit na vlákna pomocí direktnho integrálu - užitečného nástroje, kterému je věnována první část této práce. Především nás zajímá existence diskrétních vlastních hodnot vláken původního operátoru, neboť umožňují konstrukci vlnových balíků s malou či dokonce nulovou disperzí ve směru pohybu, tj. směru translační invariance. Navíc ve směru kolmém jsou tyto balíky vždy bezdisperzní. Konkrétně ukážeme exitenci takovýchto stavů pro pole generovaná zmagnetizovaným proužkem. Dokonce jsme schopni ukázat, že v případě kdy je proužek přesně rovnoběžný s rovinou grafenu, mohou se tyto balíky pohybovat pouze jednosměrně. Kvalitativní analytické výsledky na závěr znázorňujeme na základě numerických výpočtů.

We study the spectral properties of the Dirac operator with magnetic field that, besides other physical systems, effectively describes the low-energy Dirac fermions in graphene --- the two-dimensional configuration of graphite. Assuming solely translationally invariant fields, the operator is decomposed into the direct integral, which is a useful tool for spectral analysis and as such is discussed in the first part of this thesis. First of all we are interested in existence of discrete eigenvalues of the so-called fibres of the original operator, since they can be used for construction of wave packets with small dispersion in the direction of their movement, i.e. in the direction of the translational invariance. Moreover, they are dispersionless in the perpendicular direction. We show the existence of such states for fields generated by a magnetized strip. In fact we are able to prove that in the case of the strip precisely parallel to the graphene sheet, the wave packets can propagate only in one direction (unidirectional wave packets). Finally we illustrate the qualitative analytically obtained results by numerical approximation.