Variační problémy na optimální geometrii ve fyzice

Abstract

Tato práce si klade za cíl poskytnout vhled do metod tvarové optimalizace. Tři problémy, jeden z elektrostatiky, druhý z kvantové mechaniky a třetí z dynamiky kontinua jsou uvažovány. Představíme objem zachovávající transformaci, která může být interpretována jako kroucení a ohýbání. Užitím variačních metod je ukázáno, že pokud je koaxiální kondenzátor mírně zkroucen či ohnut, pak jeho kapacita naroste. Dále aplikujeme speciální, kroutící, případ oné transformace na válcový kvantový vlnovod a prostřednictvím spektrální teorie dokážeme, že válcový vlnovod má nižší energii základního stavu, než kterýkoliv zkroucený. Též provedeme porovnání dvou matematických modelů ustáleného viskózního proudění tekutiny v trubce od různých autorů. V jednom modelu válcová trubka optimalizuje disipaci energie, v druhém však nikoliv.

This work aims to provide insight into shape optimization methods. Three problems, one in electrostatics, second in quantum mechanics and the third in contiuum dynamics, are tackled. We introduce a volume-preserving transformation, which can be interpreted as twisting and bending. Using variational methods, it is shown that if a coaxial capacitor is slightly twisted or bent then its capacitance increases. Next, we apply a special, twisting, case of the transformation to a cylindrical quantum waveguide and prove via spectral theory that the cylindrical waveguide has a lower energy of the ground state than any twisted waveguide. We also offer a comparison of two mathematical models of steady viscous fluid motion in a pipe by different authors. In one model, the cylindrical pipe optimizes dissipated energy, in the other, however, it does not.