Modely kvazikrystalu se soběpodobností

Abstract

Uznávaným matematickým modelem pro kvazikrystaly jsou tzv. cut-and-project (C\&P) množiny. C\&P schéma $({\mathcal L},\pi_1,\pi_2)$ je dáno mříží ${\mathcal L}$ v $\R^s$ a projekcemi $\pi_1$, $\pi_2$ na dva vhodně orientované podprostory $V_1$, $V_2$. C\&P množina $\Sigma(\Omega)$ je delonovská podmnožina $\pi_1({\mathcal L})$. V práci odvodíme několik tvrzení popisujících souvislost mezi soběpodobnostními transformacemi mříže~${\mathcal L}$ a~transformacemi projekcí $\pi_1({\mathcal L})$ a $ \pi_2({\mathcal L})$. Popíšeme způsob, jak pomocí požadavků na transformaci mříže ${\mathcal L}$ konstruovat C\&P schéma s příslušnou soběpodobností. V případě požadavku 5četné symetrie sestrojíme nedegenerované ireducibilní C\&P schéma invariantní na izometrii řádu~5 a~srovnáme jej s klasickou konstrukcí pomocí Coxeterových grup. Na množině $\pi_1({\mathcal L})$~zkoumáme další možné soběpodobnosti a ukážeme, že tvoří asociativní algebru nad $\Z$. Dále zkoumáme 3D C\&P množiny vzniklé z 5D mříže. Ukážeme některé jejich překvapivé geometrické vlastnosti.

Quasicrystals can be described using cut-and-project (C\&P) sets. A C\&P scheme $({\mathcal L},\pi_1,\pi_2)$ is given by a lattice ${\mathcal L}$ in $\R^s$ and by projections $\pi_1$, $\pi_2$ onto two suitable subspaces $V_1$, $V_2$. A C\&P set $\S(\Om)$ is a Delone subset of $\pi_1({\mathcal L})$. In this work we derive several propositions describing the relation between transformations of the lattice ${\mathcal L}$ and transformations of its projections $\pi_1({\mathcal L})$ and $\pi_2({\mathcal L})$. When requiring five-fold symmetry we construct non-degenerate irreducible C\&P scheme invariant under an isometry of order 5 and we compare it to the classical construction of quasicrystals using Coxeter groups. We study other self-similarities on the set $\pi_1({\mathcal L})$ and prove that they form an associative algebra over $\Z$. We further investigate 3D C\&P sets arising by projection of a 5D lattice. We demonstrate some of their surprising geometric properties.