Výpočet Turingových vzorů pomocí spektrální Fourierovy metody

Abstract

Tato bakalářská práce studuje Turingovy vzory pomocí analytických a numerických metod. Podrobně analyzuje systém reakčně-difuzních parciálních diferenciálních rovnic a zjiš- tuje za jakých podmínek Turingovy vzory vznikají. Odvozené podmínky se aplikují na Schnakenbergův model, který se poté řeší numericky. Numerické řešení se hledá pomocí spektrální Fourierovy metody a diskrétní kosinové transformace. Získaný systém obyčejných diferenciálních rovnic se řeší explicitní Eulerovou a semi-implicitní metodou. Pozorováním bylo zjištěno, že mnohem efektivnější je metoda semi-implicitní. Přesnost přibližného řešení je demonstrována konvergenčním testem. Zjistili jsme, že Turingovy vzory mohou být různé v závislosti na volbě počáteční podmínky. Kromě toho jsme testovali přesnost lineární aproximace nelineárních členů.

This bachelor's thesis studies Turing patterns by analytical and numerical methods. It analyzes system of reaction-diťfusion partial diťferential equations and provides necessary conditions for Turing patterns. These conditions are applied to Schnakenberg model and the corresponding numerical solution is found using spectral Fourier method and discrete cosine transform. System of ordinary diťferential equations is solved by both explicit Euler and semiimplicit methods. The semi-implicit method appears to be more eťfective. The accuracy of numerical solutions is demonstrated by a convergence test. It turns out that given system can converge to several diťferent Turing patterns depending on initial conditions. In addition, the accuracy of linear approximation of nonlinear terms was tested.