Přesné algoritmy pro geodetické číslo a metrickou dimenzi grafu

Abstract

Tato bakalářská práce se zabývá vytvořením parametrizovaného algoritmu hledajícího geodetické číslo na grafech s nízkým vrcholovým pokrytím. Geodetické číslo je velikost minimální množiny takové, že na nejkratších cestách mezi jednotlivými dvojicemi vrcholů množiny leží všechny vrcholy grafu. Na začátku jsou rozebrány řešení podobných problémů, například parametrizovaný algoritmus pro hledání metrické dimenze grafu. V práci je ukázáno, že lze využít určitých vlastností bipartitních grafů a grafů s nízkým vrcholových pokrytím pro zjednodušení složitosti algoritmu. Popsaný algoritmus je parametrizovaný velikostí množiny vrcholového pokrytí. Algoritmus je implementován v jazyce C++. Testováním byla potvrzena očekávaná redukce složitosti. Tento algoritmus lze tedy s úspěchem používat na zmíněných specifických grafech.

This bachelor thesis deals with developing a parameterized algorithm searching for the minimal geodetic number of graphs with low vertex cover. A geodetic number is a cardinality of the smallest set, such that on the shortest paths between pairs of vertices contained in the set lies every vertex of the graph. At the beginning of the thesis, a few solutions of similar problems are analysed, such as a parameterized algorithm for searching a metric dimension of a graph. This paper demonstrates the use of some specific properties of bipartite graphs and graphs with low vertex cover to simplify the complexity of the algorithm. The described algorithm is implemented in C++. Using tests, the expected complexity reduction was confirmed. Therefore, this thesis proves that we can use this algorithm on the specific graphs previously mentioned with success.