Zobecněné stochastické procesy a jejich využití na finančních trzích

Abstract

Představíme obecnou teorii oceňování opcí a zavedeme důležité pojmy jako úplnost trhu a risk neutrální míry. Také představíme Black-Scholesova teorii a budeme diskutovat její nedostatky a možná zobecnění. Zavedeme teorii Levyho procesů a vybudujeme stochastický počet pro nespojité procesy. Klíčovým výsledkem je zobecněná verze Itova lemma. Tato teorie je poté aplikována na oceňování opcí v exp-Levy modelech. Koncept frakčních derivací je představen ve spojitosti s anomální difusí a frakční procesy jsou aplikovány při oceňování opcí. Demonstrujeme spojitost mezi teorií oceňování opcí a kvantovou mechanikou s nesamosdruženými Hamiltoniany. Odvodíme jak Hamiltonovskou formulaci teorie oceňování opcí tak i formulaci v řeči dráhových integrálů. Formulujeme kvantovou teorie pole úrokových sazeb a aplikujeme ji při oceňování opcí na dluhopisy.

We introduce general concepts of the option pricing theory. Key notions like a completeness of the market and martingale measures are discussed. In particular, the Black-Scholes theory is introduced and its limitations and possible generalizations are discussed in detail. A theory of Levy processes and stochastic calculus for them are introduced. A key result - generalized Ito lemma - is presented. This theory is then applied for the option pricing in exp-Levy models. The concept of fractional derivatives and fractional differential equations is discussed in a connection with an anomalous diffusion and applied for the option pricing. A connection between quantum mechanics with non-self-adjoint Hamiltonians and the option pricing is established. Both Hamiltonian and path integral formulation are presented. The quantum field theory of forward interest rates is introduced and applied for the pricing of bond options.