Ortogonální polynomy a Askeyova-Wilsonova algebra

Abstract

V práci nejprve předneseme základní poznatky z teorie ortogonálních polynomů a reprezentací algeber. Poté na příkladech ukážeme, jak spolu souvisí reprezentace algeber, Leonardovy páry a ortogonální polynomy. Z reprezentací Lieovy algebry sl2 odvodíme vlastnosti obecných Kravčukových polynomů a z reprezentací kvantové algebry U'q(so3) odvodíme vlastnosti speciálního případu q-Racahových polynomů. Našim hlavním výsledkem pak bude klasifikace reprezentací Askeyovy-Wilsonovy algebry za předpokladu, že q není odmocnina z jedné a jisté hodnoty nejsou vlastními čísly generujícího elementu. Tím budeme schopni nagenerovat obecné q-Racahovy polynomy pro téměř libovolnou volbu argumentů. Dále ve speciálním případě volby parametrů Askeyovy-Wilsonovy algebry klasifikujeme reprezentace za slabších předpokladů.

In the beggining of the bachelor thesis introduction to the theory of orthogonal polynomials and algebra representations is presented. Then the connection between algebra representations, Leonard pairs and orthogonal polynomials is established and illustrated. Properties of the Krawtchouk polynomials of general form are derived from representations of the Lie algebra sl2 and properties of a special form of q-Racah polynomials are derived from representations of quantum algebra U'q(so3). Our main result is classification of representations of the Askey-Wilson algebra, where q is not a root of unity and certain numbers are not eigenvalues of a generating element. Using that result properties of q-Racah polynomials for almost all possible parameters are derived. Then for certain parameters of Askey-Wilson algebra representations are classificated with weaker assumptions.