Matematické modelování infekčních onemocnění pomocí diferenciálních rovnic typu SIR

Abstract

Tato práce se věnuje deterministickým epidemiologickým modelům typu SIR/SEIR a jejich prostorovým rozšířením. V teoretické části shrnuje základní analytické nástroje (Geršgorinovy disky, princip maxima, srovnávací princip) a odvozuje základní vlastnosti obyčejného i prostorového SIR modelu. V numerické části sjednocuje volbu časového kroku pro čistě difuzní, čistě reakční i smíšený difúzněreakční model a ověřuje konvergenci (EOC). Prostorová část porovnává šíření jako putující vlnu s variantou modelu s volnou hranicí (Stefanova podmínka) a testuje jednoduché schéma pro měření rychlosti čela vlny. Závěrem je ukázka aplikace na reálná data.

This thesis focuses on deterministic epidemiological models of the SIR/SEIR type and their spatial extensions. The theoretical part summarizes basic analytical tools (Gershgorin discs, the maximum principle, the comparison principle) and derives fundamental properties of both the ordinary and the spatial SIR model. The numerical part standardizes the choice of time step for purely diffusive, purely reactive, and mixed reactiondiffusion models and verifies convergence (EOC). The spatial section compares propagation as a traveling wave with a free-boundary variant of the model (the Stefan condition) and tests a simple scheme for measuring the wavefront speed. Finally, an application to real data is presented.