Optimalizace struktury mechanických metamateriálů

Abstract

Předkládaná práce se věnuje optimalizaci třídimenzionálních mechanických metamateriálů, které jsou reprezentovány pomocí periodických jednotkových buněk (PUCs). Tyto buňky jsou modelovány s využitím diskrétních příhradových nebo nosníkových prvků tak, aby se zachytilo chování vnitřní mikrostruktury lineárně elastického materiálu. Pro modelování mechanické odezvy jsou implementovány dva výpočetní modely jeden geometricky lineární a druhý uvažující geometrickou nelinearitu, což umožnilo stanovit odezvu metamateriálu v širším rozsahu makroskopického zatěžování. Efektivní odezva periodických buněk je spočítána pomocí numerické homogenizace prvního řádu na základě vztahů pro elastickou deformační energii vycházejících z obecné deformační metody a její následné minimalizaci vzhledem k periodické fluktuační části pole posunů. V rámci práce jsou optimalizovány tři typy mechanických metamateriálů: auxetické, multimodální a metamateriály s lineární odezvou i při velkém přetvoření. U auxetických metamateriálů je zkoumán vliv geometrie jejich mikrostruktury na efektivní Poissonův součinitel. Numerické výsledky jsou validovány experimentálním měřením provedeným na vzorcích metamateriálů vyrobených pomocí 3D tisku. Vzorky byly zatíženy zařízením Thymos, vybaveným optickým měřením využívajícím digitální korelaci obrazu (DIC). V případě pentamodálních metamateriálů se práce zaměřuje na optimalizaci unimodálního a pentamodálního chování v lineárně elastickém režimu. Optimalizace je formulována jako problém inverzní homogenizace s účelovou funkcí založenou na poměru vybraných vlastních čísel efektivní matice tuhosti, což umožňuje odstranit tradiční omezení na objem. Výsledky této formulace jsou demonstrovány na návrhu unimodálního metamateriálu, který je poddajný ve vybraném módu smykové deformace, a návrhu pentamodálního metamateriálu, jehož optimalizovaná topologie odpovídá návrhu z literatury, založenému na inženýrské intuici. Poslední část práce vychází z geometrie unimodálního metamateriálu a optimalizuje jeho odezvu mezi napětím a deformací i při velkých hodnotách předepsaného zatížení. Pro jeho návrh je využit geometricky nelineární model s účelovou funkcí formulovanou jako odchylka od požadované makroskopické tuhosti. Tento přístup tak umožňuje optimalizovat chování metamateriálu v celém zatěžovacím intervalu. U testovacího příkladu je dosaženo předepsané odezvy až do 50 % deformace vzhledem k původnímu stavu. Pro optimalizaci všech úloh je využit gradientní řešič doplněný o metodu line search. Tato práce také poskytuje podrobné odvození analytických výrazů pro derivace prvního a druhého řádu, které byly ověřeny porovnáním s odpovídajícími numerickými aproximacemi získanými pomocí centrálních diferencí.

This thesis focuses on optimisation of mechanical metamaterials, modelled as three-dimensional lattice structures. They are represented using either discrete truss or beam models of their corresponding Periodic Unit Cells (PUCs), selected accordingly to capture the behaviour of the underlying microstructure from linear elastic material. To simulate their mechanical response, two models are implementedone geometrically linear and the other one incorporating geometrical nonlinearityallowing us to simulate the material response even beyond the linear regime. We compute the effective response of PUCs by plugging the kinematic ansatz of the first-order numerical homogenisation into the strain energy expression arising from the direct stiffness method and minimising the energy with respect to the periodic fluctuation field. The mechanical metamaterials optimised in this thesis are threefold: auxetic, multimodal, and large-strain linear metamaterials. For auxetic metamaterials, we determine the effect of the microstructural geometry on effective Poisson's ratio in main principal directions. The numerical study is then validated against experiments on 3D printed samples loaded within a Thymos open-hardware test rig equipped with Digital Image Correlation (DIC) optical measurements. In multimodal metamaterials, the thesis focuses on optimising unimodal and pentamodal behaviour within linear elastic regime. The optimisation is formulated as an inverse homogenisation problem with objective functions comprising a ratio of selected eigenvalues of the effective stiffness matrix, which allows for dispensing with the traditional volume constraint. We demonstrate the efficacy of the formulation through the design of a unimodal material compliant in a chosen shear deformation mode, and also show that it recovers the traditional pentamodal metamaterial. Finally, the last part of the thesis starts with a geometry of a unimodal metamaterial and optimises its stress-strain response over a large prescribed loading scenario by employing a geometrically nonlinear model. Within the inverse homogenisation framework, we formulate the objective function as the deviation from the desired macroscopic stiffness. This approach enables us to fit the optimised metamaterial behaviour across the entire loading interval, using geometrical nonlinearity to achieve a linear response even under deformation reaching up to 50 % from initial configuration. All metamaterials are optimised using gradient-based optimisation enhanced with a line search method. This thesis provides a detailed derivation of the analytical expressions for the first- and second-order derivatives, which were validated against their corresponding numerical approximations obtained using central differences.