Common Cause Principle in Classical and Non-classical Probability

Abstract

Reichenbachův princip společné příčiny (RCCP) je metafyzickým tvrzením o kauzální struktuře světa. V této práci studujeme jeho matematickou formulaci. Nejprve určujeme explicitní podmínky, za nichž má stav společnou příčinu v kvantové logice. Ukazujeme, že pojem maximální korelace v kvantových logikách se podstatně liší od klasického (Booleovského) případu. Odpovídáme na otevřenou otázku tak, že předkládáme protipříklad založený na kvantové logice dané volným ortomodulárním svazem. Zbytek práce je věnován pojmu úplnosti společných příčin (CCC). Nacházíme nejmenší možný systém, který je netriviálně CCC. Odhalujeme vztah mezi Darbouxovou vlastností a CCC. Podáváme nový důkaz toho, že bezatomické sigmaúplné kvantové logiky jsou CCC. Upřesňujeme tvrzení, že kvantové pravděpodobnostní prostory s jedním atomem musí být CCC. Pro kompatibilní jevy podáváme zjednodušený důkaz existence společné příčiny; pro nekompatibilní uvádíme protipříklad. Skutečnost, že existuje mnoho kvantových logik, které nejsou CCC, vyvolává otázku, zda je lze alespoň vnořit do logik, jež CCC jsou. Tato otázka byla formulována jako jeden z nejdůležitějších otevřených problémů v monografii The Principle of the Common Cause (Cambridge Press) a před naší prací neexistoval žádný publikovaný výsledek. Nám se podařilo takové vnoření zkonstruovat pro kvantové logiky s konečným počtem atomů. Tím zásadně přispíváme k řešení významné otevřené otázky.

Reichenbach's common cause principle (RCCP) is a metaphysical claim about the causal structure of the world. In this work, we adopt its mathematical formulation. We find explicit requirements for a state to have a common cause in a quantum logic. We show that the notion of maximal correlation in quantum logics differs considerably from the classical case. We answer an open question by providing a counterexample based on a quantum logic given by a free orthomodular lattice. The rest of our work is devoted to the notion of common cause completeness (CCC). We find a smallest possible system that is non-trivially CCC. Then we find a relation between the Darboux property and RCCP. We invent a new technique for obtaining the result that atomless sigma-complete quantum logics are CCC. We correct the claim that quantum probability spaces with one atom must be CCC. For compatible events, we give a simplified proof of the existence of a common cause; for non-compatible ones, we present a counterexample. The abundance of quantum logics which are common cause incomplete raises the question whether they can be embedded into common cause complete ones. This was formulated as one of the most important open questions in the monograph The Principle of the Common Cause(Cambridge Press), and before our work, no such result has been published. We succeeded in constructing such an embedding for quantum logics with finitely many atoms. Thus, we substantially contributed to the principal open question of the theory.