Adaptivní hrubé prostory pro řešení vysoce heterogenních úloh metodou FETI-DP

Abstract

Tato práce se zabývá způsoby pro urychlení konvergence a zlepšení robustnosti metody Finite Element Tearing and Interconnecting Dual Primal (FETI-DP) u problémů s heterogenně rozloženými koeficienty s vysokým kontrastem, u kterých klasické metody rozkladu oblasti selhávají. Práce je zaměřena zejména na adaptivní a heuristické přístupy pro obohacení hrubého prostoru této metody a detailně zkoumá robustnost a stabilitu standardních postupů založených na projekcích a transformaci báze pro zahrnutí těchto obohacujících podmínek do výpočtu. V rámci práce jsou navrženy dvě modifikace stávajících přístupů pro obohacení hrubého prostoru, které při zachování výpočetní náročnosti vedou k významnému zlepšení robustnosti a konvergence. Klíčovým výsledkem práce jsou pak dvě nově navržené techniky pro obohacení hrubého prostoru: (i) využití redukované báze pro výpočet problému zobecněných vlastních čísel a (ii) heuristické pravidlo pro výběr vhodných stupňů volnosti, které jsou přidány do hrubého prostoru. Tyto techniky jsou schopné identifikovat většinu módů způsobujících problémy s konvergencí a zároveň jsou výpočetně úspornější v porovnání s adaptivními technikami využívajícími plného řešení zobecněné problému vlastních čísel. Účinnost těchto modifikací a nově navržených strategií je demonstrována na testovacích úlohách navržených tak, aby odhalily omezení tradičních konstrukcí prostoru hrubých proměnných, a dále testována na úlohách modulární topologické optimalizace.

This thesis investigates approaches to improve performance of the Finite Element Tearing and Interconnecting Dual Primal (FETI-DP) method in problems with heterogeneously distributed high-contrast coefficients, in which the classical domain decomposition methods struggle. In particular, we focus on adaptive and heuristic approaches for coarse-space enhancement, and we investigate the robustness and stability of the standard strategies based on projections and transformation of basis for incorporating these enhancements. We propose two modifications of existing coarse-space enrichment techniques within FETI-DP, which result in better convergence and improved robustness while maintaining the complexity of the orignal techniques. As the main outcome of the thesis, we introduce two novel techniques: (i) a reduced-basis strategy for the generalized eigenvalue problems appearing in the adaptive approaches and (ii) a heuristic for selecting degrees of freedom to be added to the coarse space. Both techniques allow to identify the ill-posed solution modes while significantly reducing computation cost otherwise pertinent to eigenproblem-based adaptive approaches. The effectiveness of these modifications is illustrated on numerical test problems designed to expose limitations of traditional coarse-space constructions and further tested on systems of equations arising in modular-topology optimization tasks.