Kopule s maximální entropií

Abstract

Práce se zabývá kopulemi z pohledu jejich entropie. Nejprve jsou definovány klíčové pojmy. Následně je definována optimalizační úloha, která je řešena, nejprve pro n-dimenzionální interval, kde vyjde ,že maximální entropie se nabývá při konstantní hustotě pravděpodobnosti. To umožní zjednodušení optimalizace spojité účelové funkce, entropie, na optimalizaci diskrétních přírůstků entropie, konstantních na jednotlivých obdélnících (určených body, ve kterých známe hodnotu kopule). Dále je tato úloha řešena pouze pro dvourozměrné kopule, a to pro obecný prázdný obdélník, na kterém známe jen hodnoty kopule na jeho stranách, a na několika dalších příkladech, u kterých známe některé hodnoty uvnitř stanoveného obdélníku.

The work deals with copulas from the perspective of their entropy. First, key notions are defined. Subsequently, an optimization problem is defined and solved, initially for an n-dimensional interval, where it is found that maximum entropy is achieved with a constant probability density. This allows for the simplification of optimizing the continuous objective function, entropy, to optimizing discrete entropy increments, that are constant on individual rectangles (determined by the points where the value of the copula is known). Furthermore, this problem is solved only for two-dimensional copulas, specifically for a general empty rectangle where the values of the copula are known only at its boundaries, and for several other examples where some values within the specified rectangle are known.