Matematika komprimovaného snímání v MRI

Abstract

Metoda komprimovaného snímání je relativně nová matematická metoda, která umožňuje rekonstrukci signálu z poměrně malého množství vzorků. Mimo jiné se využívá také při zobrazování pomocí magnetické rezonance. Komprimované snímání umožňuje snížení času potřebného na vyšetření magnetickou rezonancí, což je výhodné pro pacienty, protože pro většinu je vyšetřování velmi nepříjemné. V této práci se budeme věnovat matematice komprimovaného snímání. Protože je toto téma velmi obsáhlé, budeme klást důraz pouze na několik aspektů. Budeme se zabývat problémem \ell_0 minimalizace a jeho převedením na \ell_1 minimalizaci, vlastností zeslabené izometrie a vlastností nulového prostoru matic. Na závěr pojednáme o skutečnosti, že náhodné matice mají vlastnost zeslabené izometrie.

The Compressed Sensing method is a relatively new mathematical method that allows for signal reconstruction from a relatively small number of samples. Among other applications, it is also used in Magnetic Resonance Imaging (MRI). Compressed Sensing can reduce MR examination time, which is advantageous for patients be cause the examination is very uncomfortable for most of them. In this thesis we will delve into the mathematics of Compressed Sensing. Since this topic is very complex, emphasis will be put only on certain aspects. We will mainly address the problem of an \ell_0 minimisation and its transformation into an \ell_1 minimisation, the Restricted Isometry Property and the Null Space Property of matrices. Finally, we will discuss random matrices having Restricted Isometry Property.