Modelování závislosti náhodných veličin pomocí kopulí

Abstract

Tato práce se zabývá principy modelování závislostí mezi náhodnými veličinami pomocí kopulí. Studium kopulí a jejich aplikace ve statistice je poměrně moderním jevem. Zatímco směsi kopulí jsou dobře popsány, málo se ví o kopulích popisujících podmíněně nezávislá rozdělení. V~této práci zkoumáme, jak jsou vlastnosti kopulí omezeny předpokladem, že popisují sdružené rozdělení směsi dvou (a více) nezávislých rozdělení. S ohledem na nedostatek dostupných literárních zdrojů uvádějících vzorce pro hustoty pravděpodobnosti kopulí a některé nalezené chyby v již publikovaných zdrojích jsou zde odvozeny hustoty kopulí pomocí druhých smíšených derivací kopulí (za předpokladu, že jsou absolutně spojité). Jsou studovány hodnoty hustoty různých typů kopulí v blízkosti extrémů jejich definičního oboru a jejich limity. Jsou diskutovány a prezentovány závěry týkající se použitelnosti takových kopulí pro modelování finančního rizika. Také jsou naznačeny potenciální cesty pro další výzkum a vývoj na základě získaných výsledků.

This thesis deals with the principles of modelling dependence of random variables by copulas. The study of copulas and their applications in statistics is a rather modern phenomenon. While mixtures of copulas are well described, little is known about copulas describing conditionally independent distributions. In this thesis, we investigate how the properties of copulas are restricted by the assumption that they describe joint distributions of mixtures of two (and more) independent distributions. Considering the lack of available literature sources mentioning formulas for the probability density functions of copulas and some found errors in already published sources, we derive densities of copulas by taking the second mixed derivatives of the copulas (assuming they are absolutely continuous). The densities of various types of copulas near the extremes of their domain and their limits are studied. Conclusions regarding the applicability of such copulas for financial risk modeling are discussed and presented. Also there are outlined potential directions of possible future research and development based on the obtained results.