Numerical solution of the incompressible flow using the domain decomposition method

Abstract

The Ph.D. thesis is devoted to numerical simulations of the Navier-Stokes (N-S) equations for stationary incompressible flow using Balancing Domain Decomposition by Constraints (BDDC) method. The Finite Element Method (FEM) is used for the discretization of the N-S equations. In the thesis, the multilevel BDDC method is introduced which is suitable for solving the large system of linear equations. This method and its theory are well known for the Poisson problem, for linear elasticity, and flow problems described by Stokes equations. The thesis is devoted to the extension of the multilevel BDDC method to the nonsymmetric problem arising from the discretization of the N-S equations. The weights operators for this form of the BDDC method are discussed including my own based on an upwind scheme suitable for flow problems. Next, my geometric partitioner is presented which is suitable for these problems, especially for problems with dimensionally complex geometry. All new approaches presented in this thesis are tested numerically for different problems. Namely, weak scalability of multilevel BDDC method is tested on the flow in the 3D cavity, the test of the influence of the interface between subdomains is tested on the problem of narrowing channel, and all these pieces of knowledge are employed for simulations of oil inside the hydrostatic bearing.

V této disertační práci se zabývám numerickým řešením Navierových-Stokesových (N-S) rovnic pro stacionární nestlačitelné proudění pomocí metody Balancing Domain Decomposition by Constraints (BDDC). Pro diskretizaci N-S rovnic je použita metoda konečných prvků (MKP). V práci je představena víceúrovňová metoda BDDC, která je vhodná pro řešení velkých soustav linerních rovnic. Tato metoda a její teorie je dobře známa pro Poissonovu úlohu, úlohy lineární pružnosti a proudění popsané Stokesovými rovnicemi. Práce je věnována rozšíření této víceúrovňové metody na nesymetrickou úlohu vznikající diskretizací N-S rovnic. Pro tuto formu BDDC jsou také diskutovány různé vážící operátory, včetně vlastního vycházejícího z upwind schématu, a vhodného pro úlohy proudění. Dále je představen vlastní geometrický dělič sítě, který je vhodný pro tento typ úloh, speciálně pro úlohy s dimenzionálně komplexní geometrií. Všechny nové přístupy prezentované v této práci jsou podrobeny numerickým experimentům na různých úlohách. Konkrétně jsou tu prezentovány výsledky slabé škálovatelnosti víceúrovňové metody BDDC pro proudění v 3D kavitě, výsledky pro test vlivu rozhraní mezi podoblastmi ve 2D a 3D na úloze zužujícího se kanálku a výsledky využívající získané poznatky pro simulaci proudění oleje uvnitř hydrostatického ložiska.