Laplaceova matice a její aplikace

Abstract

Grafy a Markovské řetězce je možné reprezentovat pomocí matic. Jednou z nejběžnějších forem reprezentace pro grafy je Laplaceova matice. Tato práce o ní dává ucelený přehled a nachází Laplaceova spektra několika základních typů grafů. Dále shrnuje základní obecné spektrální vlastnosti Laplaceovy matice a normalizované Laplaceovy matice pro neorientované grafy, jejich vzájemný vztah i vztah s maticí přechodu z teorie Markovských řetězců. Dále se práce věnuje aplikaci daných matic, primárně ve spectral clusteringu. Vedle toho definujeme novou Laplaceovu matici pro orientované grafy a ověřujeme její vlastnosti. Vše je na konci ukázáno formou numerické simulace na třech grafech.

Graphs and Markov chains can be represented by matrixes. One of the most common representations is the Laplacian matrix. This thesis summaries knowledge about the Laplacian matrix and prove Laplacians of some particular graphs. Then it summarises the basic generic properties of the Laplacian matrix and the Normalized Laplacian matrix of unoriented graphs, their relations and their relation with the Transition matrix from Markov chain theory. Then we consider the application of these matrixes, especially in spectral clustering. In the thesis, we also analyze the new Laplacian matrix for oriented graphs and proves its properties. Everything concludes in the form of numerical simulation on three particular graphs.