Pokročilé víceúrovňové metody pro výpočetní homogenizaci periodických struktur

Abstract

Víceúrovňové materiálové modelování je jednou ze klíčových oblastí vývoje pro budoucí průmyslová odvětví. Pro plné využítí možností víceúrovňových struktur musí být techniky víceúrovňového modelování přesné a dostupné. Tato práce se zaměřuje na iterační výpočetní homogenizační metody specializované na digitalizované mikrostruktury, tedy mikrostruktury s geometrií definovanou na pravidelných mřížkách. Tyto takzvané spektrální metody využívají předpodmínění pomocí diskrétního Greenova operátoru k udržení počtu iterací nezávislých na velikosti sítě a rychlé Fourierovy transformace k dosažení výpočetní složitosti nlog(n). Prostřednictvím souboru pěti rukopisů se tato práce zaměřuje na tři témata. Nejprve se práce zabývá vlivem předpodmínění diskrétním Greenovým operátorem na spektra matic lineárních systémů. První a druhá kapitola popisuje lehce dostupné, garantované oboustranné odhady jednotlivých vlastních čísel. Tyto odhady popisují distribuci vlastních čísel, což pomáhá pochopit nezávislost rychlosti konvergence spektrálních metod na velikosti síte. Zadruhé se práce zabývá problémem oscilujících discretizačích chyb, které degradují rešení spektrálních metod. Třetí kapitola podrobně popisuje přístup založený na metodě konečných prvků, který eliminuje tyto oscilace při zachování účinnosti spektrálních metod. Čtvrtá kapitola pak analyzuje několik diskretizací a potvrzuje, že konečné prvky poskytují řešení s nejmenšími discretizačími chybami. Za třetí, pojednává práce o snížení výpočetních nákladů pomocí modelování s redukovaným řádem. Pátá kapitola ukazuje potenciál a efektivitu využití tenzorů nízké hodnosti ve spektrálních metodách pro rozsáhlé problémy.

Multiscale material modeling is one of the enabling fields for future industries. To fully exploit the opportunities of multiscale structures, multiscale modeling techniques must be accurate and accessible. This thesis focuses on iterative computational homogenization methods specialized for digitized microstructures, i.e. microstructures with geometries defined on regular grids. These so-called spectral methods exploit discrete Green’s operator preconditioning to maintain mesh-size independent iteration count and the fast Fourier transform to achieve nlog(n) computational complexity. This thesis focuses on three topics through a collection of five manuscripts. First, it discusses the effect of discrete Green’s operator preconditioning on the spectra of linear system matrices. The first and second chapters provide guaranteed, easily computable, two-sided bounds on individual eigenvalues. These bounds reveal the distribution of eigenvalues which helps to understand grid-size independence of spectral methods. Second, the thesis discusses the problem of ringing artifacts that pollute solution gradient fields of spectral methods. The third chapter provides a detailed description of the finite element discretization approach that eliminates ringing artifacts while keeping the efficiency of spectral methods. The fourth chapter then analyzes several discretizations to confirm that the finite elements deliver the solutions with the least discretization artifacts. Third, the thesis discusses the reduction of computational costs by using reduced-order modeling. The fifth chapter shows the potential and efficiency of low-rank tensor techniques in spectral methods for large-scale problems.